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Piccola domandina che ha messo in crisi il sottoscritto per una (apparente?) discrepanza tra la definizione di asintoto e il concetto intuitivo di esso.

Nella funzione $ y=e^x\sin(x) $ considerate la retta y=0 come asintoto orizzontale? oppure no?

Il mio dubbio è: alla fine, il limite per x che tende a meno infinito è 0, quindi quella retta potrebbe benissimo essere un asintoto orizzontale. D'altra parte, la funzione la interseca infinite volte, e questo contrasta con l'idea di "retta su cui la funzione si adagia".

Premetto poche cose per avere le basi su cui discutere...

Sia $ f $ una funzione definita nelle vicinanze di $ - \infty $ (nella fonte teorica da cui attingo il termine "vicinanze" è ben definito, ma credo sia un concetto chiaro per tutti) e siano $ m,q \in \mathbb{R} $.
La retta di equazione $ y=mx+q $ si dirà asintoto di $ f $ se $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)-mx-q =0 $.
Nel nostro caso si ha $ m=q=0 $ e $ f(x)=e^xsin[x] $. Allora $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=0 $.

Dunque, in base alla definizione data, la retta $ y=0 $ è asintoto.

Altro paio di maniche è stabilire se la funzione è sopra o sotto l'asintoto...
Infatti penso che non esista $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow - \infty} sgn[f(x)] $

Salva ha scritto:D'altra parte, la funzione la interseca infinite volte, e questo contrasta con l'idea di "retta su cui la funzione si adagia".

Ecco, questo è importante capirlo!
Il fatto che (ad esempio) una funzione tenda a 0 per x che fa all'infinito non vuol dire che il suo grafico "si adagia" attorno ad y=0, ma che "gironzola sempre più vicino" a 0, non importa se sia sopra o sotto.

Altra cosa: spesso sentiamo dire che la derivata di una funzione in un certo punto è in un certo senso "la retta tangente" in quel punto. Questa famosa retta tangente però potrebbe intersecare il grafico di x in un sacco di punti, prova a pensare a:
$ \displaystyle f(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{se } x=0 \\ x^2\sin \frac 1x & \mbox{altrimenti} \end{cases} $

La sapevo! Siete arrivati prima voi matematici, che vabbè, è anche giusto, però...