OliForum Matematico

Mi ha fatto penare non so quanto, e mi è costato l'esame di oggi, quindi vorrei vendicarmi sventrando questo integrale da cima a fondo e capendone ogni piu minimo risvolto...



$ \displaystyle\int_0^4 x \sqrt{4x-x^2} dx = 4\pi $


stamattina ho provato di tutto, sostituzione, per parti, integrali notevoli, cambio di coordinate.... come lo fareste voi?

Prova
$ x=\dfrac{4t^2}{1+t^2} $
dovrebbe venire
$ \sqrt{4x-x^2}=(x-4)t $
(credo che si chiamino sostituzioni di eulero).
Ora però non ho tempo di fare i conti.

in maniera grafica:
$ \displaystyle\int_0^4 x \sqrt{4x-x^2} dx = \int_0^4 (x-2)\sqrt{4x-x^2} dx+2\int_0^4\sqrt{4x-x^2} dx $
il primo integrale è elementare (l'integranda è della forma $ f'\cdot g\circ f $) e fa $ 0 $; il secondo è l'area sotto il grafico della curva $ y=\sqrt{4x-x^2} $, che è una circonferenza di raggio $ 2 $ e centro $ (2,0) $: la stai integrando tra $ 0 $ e $ 4 $...