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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Kalidor
Qualcuno può dare una dimostrazione non induttiva del famoso:
<BR>
<BR>1^2+2^2+3^2....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 ??
<BR>
<BR>Grazie a chi risponderà
<BR>
<BR>
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Azarus
gh si può dare una bellissima dimostrazione grafica
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lordgauss
Chiedi ad Arosio, oppure fai una capatina al Fermi e sbircia il \"Fibonacci\" attaccato alla parete.
<BR>Scusa se questa risposta è probabilmente irritante <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Azarus
a proposito...esiste una versione telematica del Fibonacci?
<BR>(una serie di poster distribuiti a certe scuole di problemi famosi e risolti ma anche di problemi da risolvere)
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da XT
Che cosa sarebbe il Fibonacci?
<BR>E la dimostrazione grafica come si attua?
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da ma_go
la mia dimostrazione è un bell\'esempietto di double counting..
<BR>sfrutta questa: n^2 = sum..
<BR>
<BR>oppure una che sfrutta il fatto che questa sommatoria può essere espressa come polinomio di grado 3, per cui basta risolvere un sistema in 3 equazioni lineare per trovare i coefficienti...
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da dino
scusa mago potresti essere più chiaro ed esplicito?
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Azarus
la seconda ammetto di non averla capita,
<BR>la prima richiede tanti conti ma è bellina,
<BR>si basa sul fatto che un n^2 è la somma dei primi n numeri dispari
<BR>quindi devi contare n volte il primo numero, n-1 volte il secondo ecc...
<BR>è la maniera in cui lo dimostrai al mio prof
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lakrimablu
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>
<BR>oppure una che sfrutta il fatto che questa sommatoria può essere espressa come polinomio di grado 3, per cui basta risolvere un sistema in 3 equazioni lineare per trovare i coefficienti...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>
<BR>sarà che ne capisco poco ma non riesco a farmi un\'idea...
<BR>
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lakrimablu
lordgauss posso chiederti di dove sei?...
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da J4Ck202
Con la combinatoria:
<BR>Abbiamo
<BR>
<BR>sum[j=1..n] (j k) = (n+1 k+1)
<BR>
<BR>ora
<BR>x^2 = 2 (x 2) + (x 1)
<BR>
<BR>dunque
<BR>sum[j=1..n] j^2 = 2sum[j=1..n] (j 2) + sum[j=1..n] (j 1) =
<BR>= 2 (n+1 3) + (n+1 2) = n(n+1)(2n+1)/6
<BR>
<BR>come volevasi dimostrare
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da ma_go
Che fai mi tradisci lakrimablu???
<BR>
<BR>Comunque... esiste una dimostrazione del fatto che sum = P(n), dove deg (P(n))=k+1 e i coefficienti sono razionali.
<BR>E\' quindi sufficiente impostare un sistema di quattro equazioni lineari nelle variabili a,b,c,d, che altro non sono se non i coefficienti del polinomio. Tutto qui.
<BR>L\'altra: sum = sum] = 1*n+3*(n-1)+..+(2n+1)*1 = sum => 3*sum = sum + sum - sum = (n+1)n^2+n(n+1)-n(n+1)/2 = n(n+1)(n+1-1/2)/6 = n(n+1)(2n+1)/6. cvd (qed)...
<BR>tanto per non fare lo sborone...
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Marco
Bah, giravo per i messaggi \"stagionati\" e ho trovato questo. Intanto è un bel ripasso, e ne approfitto per uppare. Poi aggiungo alla lista la mia dimostrazione \"geometrica\".
<BR>
<BR>Disegnate un triangolo di puntini, in modo che siano i vertici di una maglia a triangoli equilateri di lato 1.
<BR>
<BR>Ora numerate i punti in modo che l\'unico punto della prima fila valga 1; i 2 p.ti della 2a fila valgano 2; ...; gli n p.ti della n-esima e ultima fila valgano n.
<BR>
<BR>Es.:
<BR>................1
<BR>..............2..2
<BR>............3..3..3
<BR>..........4..4..4..4
<BR>
<BR>La somma totale (che chiamerò S) vale il numero cercato (è la somma dei primi n quadrati...).
<BR>
<BR>Ora ripetete la stessa costruzione per tre volte, cambiando ogni volta l\'orientazione:
<BR>
<BR>................1.......................4.......................4
<BR>..............2..2...................3..4...................4..3
<BR>............3..3..3...............2..3..4................4..3..2
<BR>..........4..4..4..4...........1..2..3..4............4..3..2..1
<BR>
<BR>Sommate i tre triangoli e ottenete un triangolo che contiene un valore costante, che non è difficile dimostrare essere 2n+1. Ma allora
<BR>
<BR>3 S = < gli elementi del triangolo > * (2n+1) = n(n+1)(2n+1)/2. []
<BR>
<BR>Ciao. M.
<BR>
<BR>\"We shall see. So many strange things have chanced that to learn the prais of a fair lady under the loving strokes of a Dwarf\'s axe will seem no great wonder.\"<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 03-01-2005 12:55 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da metafisic
Si può usare anche il fatto che (t+1)^3-t^3=3t^2+3t+1, sommare su t da 0 a n-1, conoscore la somma dei primi n numeri naturali.Con questa somma telescopica si può dimostrare il fatto di mago:
<BR>
<BR>(t+1)^n-t^n=bin(n,n-1)t^n-1+...+nt+1
<BR>
<BR>
<BR>[addsig]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da karl
Poiche\' mi e\'capitato un quesito che so risolvere,
<BR>mi ci ficco pure io.
<BR>[Per comprendere la mia soluzione fare riferimento
<BR>al post \" la serie di Mengoli...\" in questa stessa pagina]
<BR>Si ha:
<BR>x<sup>2</sup>=x(x-1)+x ,ovvero con le notazioni dell\'analisi discreta:
<BR>x<sup>2</sup>=x<sup>(2)</sup>+x<sup>(1)</sup>
<BR>Sommando da 1 ad n si ha:
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="
http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/alt.bmp"><!-- BBCode End -->
<BR>Questa si\' che e\' una dimostrazione alternativa!
