OliForum Matematico

Trovare quanto vale
<BR>
<BR>sum[j=0..inf] (-1)^j / sqrt(2j+1)
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<BR>\"sqrt\" = \"radice quadrata\"
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riporto up questo post,problema davvero bello e difficile.
<BR>cmq la convergenza della serie è facile da dimostrarsi,(segue direttamente dal criterio generale di convergenza delle serie),il grande problema sta nella determinazione della somma.
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<BR>sto provando su 2 strade diverse,una complicatissima che rappresenta la funzione cone una differenza fra la alternate riemann zeta function e una altra funzione,una più semplice che è
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<BR>Sum[j=0...inf] 1/sqrt(4j+1) - Sum[j=0...inf] 1/sqrt(4j+3)
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 06-02-2003 11:17 ]

Il metodo più facile si rivela fallace:
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<BR>1/sqrt(4j+1) > 1/sqrt(4j+3) >> 1/(j+2)
<BR>
<BR>dunque le sommatorie divergono per confronto con la serie armonica..
<BR>Con Riemann salta fuori qualcosa di carino?
<BR>

uhmm...mi sono espresso male:
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<BR>intendo di calcolare a partire le varie somme di queste due funzioni e farle tendere al limite,perchè se non mi ricordo male
<BR>lim[a(n) - b(n)] = lim[a(n)] - lim[b(n)]

vedere che converge è in effetti banale...si applica il criterio di leibniz (credo si chiami così) cioè si verifica che in valore assoluto la serie sia decrescente e che l\'ennesimo termine per n che tende ad infinito sia 0.
<BR>
<BR>Mi chiedevo...non è che qualcuno sa dirmi qualcosa di più o anche consigliarmi un sito o un libro riguardo le serie a segni alterni?

Mi unisco: dov é che posso trovare le armi per questo tipo di problema? (convergenze, limiti...)

Sezione non troppo amplia ma ben curata sull\'analisi a questo indirizzo:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><A HREF="http://www.matematicamente.it/analisi/index.html" TARGET="_blank">http://www.matematicamente.it/analisi/index.html</A><!-- BBCode End -->

Se vi dico che sto lavorando con le parti intere voi mi prendete per pazzo?

L\'ultimo risultato che ho ottenuto, dopodichè ho abbandonato il tutto, è che viene un valore compreso tra 0 e 1. Stupefacente, no?
<BR>
<BR>p.s.: ovviamente non dovete rispondere a questo stupidissimo commento

thank you psion, piano piano scaverò...

Siccome non l\'ho mai usata, anche se l\'ho vista parecchie volte potete spiegarmi come funziona la sommatoria? C\'entra qualcosa con i limiti (che SO FARE A USARE)?

la sommatoria serve semplicemente a scrivere in modo \"corto\" (ricorsivo) una somma di n fattori...
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<BR>ad esempio se ho x=1+2+3+4+5+6+7+...+n posso scriverlo come
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<BR>x=sum(i)
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<BR>oppure, x=1+2+4+9+16+25+...+n^2=sum(i^2)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: AleX_ZeTa il 12-02-2003 18:31 ]

Molto alla buona:una sommatoria è la somma di tutti i termini di una successione. I limiti con le sommatorie centrano perchè è sempre utile sapere a cosa tende l\'ennesimo numero da sommare per n che tende ad infinito. In una sommatoria si cerca di stabilire infatti se essa converga o diverga e, se converge, a che limite converge.
<BR>
<BR>Ci sono diversi teoremi (leggi \"criteri di...\"), in generale abbastanza intuitivi, per sapere se una sommatoria (mi sembra si dica anche serie) sia convergente, divergente ecc...che dovrebbe essere facile trovare in qualche dispensa su internet ( io ho fatto così almeno...)
<BR>
<BR>Non è molto...

Ho capito cos\'è una sommatoria, grazie. E se ho una successione convergente e calcolo il limite per n che tende all\'infinito, come la trovo il risultato della sommatoria, cioè che rapporto c\'è tra limite e sommatoria?
<BR>potete srvermi un esempio con i passaggi di risoluzione per capire esattamente come operare con le sommatorie.
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<BR>Thank you
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<BR>P.S. avete indirizzi internet precisi please.

Ricavati questo esempio:
<BR>prendi una parabola y = x^2 , e cerca di calcolarti l\'area tra la parabola, l\'asse x e le due rette x=0 e x=1. per fare questo suddividi l\'area in rettangolini di base 1/n, e considera poi un limite della sommatoria... non è difficile...