OliForum Matematico

Ciao a tutti. Ho un problema che potrebbe non avere una soluzione:
a*n1+b*n2+c*n3+...+m*n(n) = x*(x+1) ;
con a,b,c...m-esimo e n1,n2,n3...n-esimo,x, numeri naturali non nulli tali che sia verificata l'uguaglianza.
Noto: a+b+c+...+m= 2x-1 come posso trovare n1+n2+n3+...+n(n) ?
E se n1+n2+n3+...+n(n) fosse una sommatoria particolare come per esempio dei primi n°-esimi numeri dispari, e i coeficienti (a,b,c..) numeri tali che si verifichi l'uguaglianza?Più in generale per una soluzione univoca che condizioni devo porre e come trovo la soluzione?

Scusate se nn è un problema molto definito ma sono curioso di sapere se esiste una soluzione univoca magari di qualche caso particolare, possibilmente se i coefficienti nn seguano una legge matematica(alcuni potrebbero essere uguali ..) e n1,n2,n3…invece sì .

Non è che si capisca granché...

provo a riformularlo io..correggetemi se sbaglio

dati due n-uple di interi positivi non nulli $ a_i $ e $ b_i $ allora abbiamo per ipotesi che esiste m in N tale che $ \sum_{i=1}^{n}{a_i b_i} = 2 \sum_{j=1}^{m} j $ e inoltre vale $ \sum_{i=1}^{n}{a_i}=2m+1 $ .
cosa si puo dire circa $ \sum_{i=1}^{n}{b_i} $ ?

giusto robertos?

Proprio così...hai formulato il mio problema in modo più sintetico ed elegante, infondo la matematica è bella per questo!
Cmq cosa sapresti dirmi dell'ultima sommatoria? C'è un modo per trovarne il risultato conoscendo il parametro m? Se è no, cosa dovrei conoscere?
Grazie per la risposta

mmm..non pretendo di rispondere in modo esauriente, ma considera questo fatto:

per ogni m in N della forma 4k +2 per il teorema di bezout esistono e sono unici due interi $ a $ e $ b $ in N-{0} per le ipotesi date tale che:
$ m(m+1)=2m * a + 1*b $.
almeno per questa famiglia di casi può valere $ a_1=2m $ e $ a_2=1 $, rispettando cosi tutte le ipotesi. in questo caso vale $ \sum_{i=1}^{2}{b_i}= a+b < a+m $.
potevamo in ogni caso caso considerare pero che $ m(m+1)=m * a + m*a + 1*b $, con $ a_1=a_2=m $ e $ a_3=1 $, quindi $ \sum_{i=1}^{3}{b_i}= 2a+b $.
o ancora diversamente per ogni m in N vale $ a_1=a_2=.....=a_{m+1}=1 $ e $ b_1=b_2=...=b_{m+1}=m $ che da $ \sum_{i=1}^{m+1}{m}=m(m+1) $, caso limite di somma massima.

con questo non voglio dire che il problema non sia risolvibile, ma solo che possiamo dare solo opportune limitazioni sul valore di $ \sum_{i=1}^{n}{b_i} $

a questo punto un buon quesito sarebbe: chi riesce a trovare il buond minimo?

visto ke mi ci trovo cerco di risolverlo da solo, senza aiutini
allora il buond minimo è un intero positivo non nullo.

CASO I minimo=1
significa che esiste a in N tale che per un qualche m in N vale $ m(m+1)=a(2m+1) $ cioè $ 2m+1| m(m+1) $.
ma notiamo che $ (2m+1, m^2+m) = (2m+1,2(m^2+m)-m(2m+1)) $ = $ (2m+1, m) = 1 $, assurdo.

CASO II minimo=2
significa che esistono a e b in N tali che per unqualche m in N vale $ m(m+1)=a*1 + b*1 $ con $ a+b=2m+1 $.
ma per quanto detto $ a+b=2m+1=m(m+1) $ cioè $ m^2=m+1 $, assurdo in N.

CASO III minimo=3
esistono a, b, c in N tali che per un qualche m in N vale $ m(m+1)=a*1+b*1+c*1 $ con $ a+b+c=2m+1 $ oppure esistono a e b in N tali che $ m(m+1)=a*2+b*1 $ con $ a+b=2m+1 $.
il primo caso, analogamente al caso II, è da scartare.
il secondo invece porta al sistema $ a+b=2m+1 $ e $ 2a+b=m^2+m $.
per differenza $ a=m^2-m-1 $ e $ b=3m+2-m^2 $.
ricordando che a e b sono interi non nulli arriviamo (ad esempio disegnando il tutto nel piano cartesiano) a due sole soluzioni accettabili, cioè $ (a, b, m) = (1, 4, 2) $ oppure $ (5, 2, 3) $.


CONCLUSIONE
per ogni scelta di $ a_i $ e $ b_i $ vale la seguente disuguaglianza:

$ 3 \le \sum_{i=1}^{n}{b_i} \le m(m+1) $

Molto interessante... ,se volessi approfondire l'argomento, sempre in maniera elementare, cosa mi suggeriresti di leggere?

be, dimostra questo...
date le ipotesi del tuo problema allora l'equazione $ \sum_{i=1}^{n}{b_i}=j $ con $ m^2 \le j < m^2 + m $ non ha mai soluzione in N-{0} per ogni scelta di $ a_i, b_i, n $.

buon lavoro.