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qualche aiutino per
discutere, al variare di $ x \in \mathbb{R} $, convergenza semplice e assoluta di
$ \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}sin(x^{n})n^{3x} $, con $ x\le1 $

a me risulta:
diverge a $ +\infty $ per x=1
converge assolutamente per $ |x|<1 $
converge per $ x\le-1 $
qualcuno mi conferma?

Intanto sin(x^n) è una quantità limitata, in modulo e -1<sin(x^n)<1 (penso che questa sia la cosa più facile da pensare).
Per x<-1
$ \displaystyle\frac{sen(x^n)}{n^{-3x}} \le \frac{1}{n^{-3x}} $ che converge assolutamente (spero di non sbagliare nulla, in questo periodo sono sommerso da equazioni differenziali e funzioni a due variabili ).

Comunque non ho detto nulla di nuovo [/tex]

anzi, converge sempre assolutamente, tranne che per x = 1, dove diverge a $ +\infty $

per $ ~x<-1/3 $

$ $\left|\frac{\sin(x^n)}{n^{-3x}}\right| \le \frac{1}{n^{-3x}} <\frac{1}{n} $ $


per $ ~|x|<1 $

$ $\left|\sin{(x^n)}n^{3x}\right| \simeq \left|x^n\right| n^{3x}$ $