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come si fa a trovare la funzione inversa di $ y=f(x)=x^{x} $?

non penso che esista una soluzione "semplice".
Inoltre $ ~x^x $ non e' iniettiva, quindi va presa una restrizione

la restrizione per farla diventare biietiva è $ f: [\frac{1}{2},+\infty] \to [\frac{\sqrt2}{2},+\infty] $

in verita' (a essere pignoli) e'
$ $f: ]0, e^{-1}] \to [e^{-e^{-1}},1[$ $
o
$ $f: [e^{-1},+\infty] \to [e^{-e^{-1}},+\infty]$ $

mi sa che trovare l'inversa in generale è un po' impossibile.
l'esercizio originale era:
"sia $ f: [\frac{1}{2},+\infty[\to[\frac{\sqrt2}{2},+\infty[ $ la funzione definita dalla formula $ f(x)=x^x $. Dimostrare che f è un diffeomorfismo (cioè biiettiva, derivabile con inversa derivabile). Calcolare poi $ (f^{-1})'(4) $."

Eh in effetti non la trovi esplicitamente ma sai che esiste ed è derivabile. Poi trovi quel valore con la formula della derivata dell'inversa.