Gruppi e ancora gruppi

[edriv]

Intanto sta storia di "un insieme associativo" a me non piace... un insieme cos'ha da essere associativo? Diciamo piuttosto che è definita un'operazione associativa, o anche non diciamo niente.

Finite le lamentele per la notazione, comincio ... ma con altre lamentele
- esiste un insieme con operazione associativa, elemento neutro ed invertibile a destra (o a sinistra, a seconda delle convenzioni boh) ma non a sinistra: ad esempio, le funzioni iniettive da N in se con la composizione.
Definendo la nuova operazione a*b = ba, scambiamo la destra con la sinistra.
Questo dovrebbe mettere a posto i punti 1,2 (equivalenti) e 3, in particolare l'1 sembra falso. Se prendi N con la somma risolvi il punto 4.

Per il problema 5. Intanto vediamo che quelle a determinante 1 sono esattamente un (p-1)-esimo di tutte quelle a determinante non nullo. (moltiplicare per costanti, corrispondenze biunvoche, moltiplicatività del det...)
Poi. Trovare una matrice a det non nullo è come trovare una coppia di vettori di $ ~ \mathbb{Z}_p^2 $, uno che non sia multiplo dell'altro. Il primo vettore lo scegli in $ ~ p^2 - 1 $ modi (basta che non sia nullo), il secondo lo scegli in $ ~ p^2 - p $ modi (il primo ha esattamente p multipli compreso 0). Totale: $ ~ (p^2-1)(p^2-p) $. Che guarda a caso è un multiplo di p-1.

[edriv]

Facciamo così: io posto una dimostrazione e tu rifai i conti, ok?

Sia $ ~ G $ il gruppo delle matrici invertibili 2x2 su Z_p e $ ~ H $ il sottogruppo delle matrici con determinante 1.
Definiamo $ ~ f: H \times \mathbb{Z}_p^* \rightarrow G $ in questo modo:
$ ~ f(h,r) = hr $ (sto moltiplicando una matrice per uno scalare)
- è suriettiva: se $ ~ A \in G $ allora $ ~ A = ( (\mbox{det}A)^{-1}A) \cdot \mbox{det}A $. Si verifica facilmente che l'ho scritto come prodotto di un elemento di H e uno di $ ~ \mathbb{Z}_p^* $.
- è iniettiva: se $ ~ f(A,k) = f(A',k') $ allora $ ~ Ak = A'k' $. Prendendo il determinante da entrambe le parti, troviamo k = k' e quindi A = A'.
Quindi f è biunivoca e $ ~ |G| = |H| |\mathbb{Z}_p^*| $, più precisamente, $ ~ |G| = |H| (p-1) $.