OliForum Matematico

A è l'insieme di cerchi di raggio $ ~ \frac 12 $ appoggiati sugli interi:

(se non si vedesse l'immagine, A è l'insieme dei cerchi di raggio 1/2 e centro (n, 1/2) con n che varia tra gli interi)

B è il più piccolo insieme di cerchi che contenga A e tale che, comunque presi due cerchi tangenti di B, esiste un cerchio di B tangente a quei due e alla retta y=0.

Sia Q l'insieme dei punti di tangenza dei cerchi di B con la retta y=0.

Dimostrare che Q è l'insieme dei numeri razionali.

We would appreciate a tip...

Io sono riuscito a formare tutti i razionali del tipo 1/n e (n-1)/n, ma non riesco a prendere tutti gli altri...

Già un tip?

Non vedo nessun risultato parziale... quindi niente tip
(comunque lo ammetto, non è un problema facile)

Beh, io Farey qualche ragionamento induttivo...

Te la potevi risparmiare, ma tanto, ma tanto...avresti fatto un favore all'umanità.

Simo_the_wolf ha scritto:Beh, io Farey qualche ragionamento induttivo...

ma questa la capiranno in pochi

Simo_the_wolf ha scritto:Beh, io Farey qualche ragionamento induttivo...

7 punti, topic chiuso!

***tolto link -- EG***
simo sempre il solito

A parte il fatto che quel link non dimostra il problema, non è comunque bella l'idea di mettere un link alla soluzione.

anche se non completa (ci manca poco!) credo sia meglio così,per correttezza.
comunque va bene, la prossima volta evito..

Evitiamo anche questa volta eh?
Edito io il messaggio.

Se poi qualcuno, oltre a ostentare comicità, proponesse un approccio al problema...

Un po' di consigli:

1) Provate a scrivere un po' di quelle circonferenze:
ad esempio, prendiamo quelle che toccano in 0 e 1; la circonferenza tangente a loro due e alla retta tange per simmetria in 1/2 .. quanto vale il suo raggio? E se vado avanti e metto una cfr tra quella in 0 e quella in 1/2?
2) Provate a trovare delle formule qua e là, per calcolare cose utili, ad esempio, se ho due circonferenze tangenti tra loro di raggi $ r_1,r_2 $ che tangono la retta nei punti $ a_1,a_2 $ che relazioni ci sono tra i punti di tangenza e i raggi? E poi, se volessi mettere una terza circonferenza che tocchi le prime due e la retta, di raggio $ r_3 $ e tangente in $ a_3 $, quale legame ci dovrebbe essere tra i tre raggi e i tre punti di tangenza?
3) Cercare se ci sono simmetrie nella configurazione.
4) Scoprire "in che modo" vengono ottenuti tutti i razionali, provando ad individuare in questo procedimento geometrico una "costruzione" dei razionali.

E guardate che questi sono tutti consigli di "buon senso" che potrei darvi anche se non sapessi come si risolve il problema...sono le prime cose che ognuno dovrebbe provare a fare davanti a un quesito: giocarci un po', stuzzicarlo per vedere come si comporta, girargli intorno facendo finta di niente e osservandone il comportamento ... ok, non è un animale, ma funziona uguale.

Quanto a simmetrie, periodi etc... si vede chiaramente che è sufficiente dimostrare che vengono generati tutti i razionali compresi fra $ 0 $ e $ 1 $; inoltre per ragioni di simmetria ci si può limitare addirittura al solo intervallo $ (0,\frac12) $.
Ora, se due circonferenze di raggio $ r_1 $ e $ r_2 $ sono tangenti fra di loro e i punti di tangenza sulla retta distano $ d $, allora vale la relazione $ d^2=4r_1r_2 $.
Se ci sono tre circonferenze $ \Gamma_1 $, $ \Gamma_2 $ e $ \Gamma_3 $ di raggio $ r_1 $, $ r_2 $ e $ r_3 $ che sono tutte tangenti fra di loro e i cui punti di tangenza sulla retta sono $ T_1 $, $ T_2 $ e $ T_3 $, tali che $ T_1T_3=d_1 $, $ T_3T_2=d_2 $ e $ T_1T_2=d_1+d_2=d $, allora valgono le relazioni
$ d^2=4r_1r_2 $
$ d_1^2=4r_1r_3 $
$ d_2^2=4r_2r_3 $
dalle quali si può ricavare per esempio $ d_1 $, che fornisce il nuovo numero razionale trovato.
Questo però non mi sembra condurre a una semplice regola sull'ordine con cui vengono generati tutti i razionali.