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per ogni $ b $ in $ R $ definiamo $ f(b) $ il massimo della funzione:
$ | { sin{x} + \frac{2}{3+sin{x}} +b } | $ per ogni $ x $ in $ R $.

trovare il minimo di $ f(b) $

Poichè la scelta di $ b $ influisce solo sul valore assoluto, divido i casi in:

$ (1) b \in \mathbf{R_{0}^+} $
$ (2) b \in \mathbf{R^-} $

$ (1) $ il valore massimo di $ \displaystyle\bigg|senx+ \frac{2}{3+senx}+b\bigg| $ si ha quando $ \displaystyle senx + \frac{2}{3+senx} $ è massimo.
Dico che il massimo di quella quantità è $ \displaystyle \frac{3}{2} $ e magari lo dimostro anche.
Infatti:
$ \displaystyle senx + \frac{2}{3+senx} \le \frac{3}{2} $

$ \displaystyle \frac{2sen^2x+3senx-5}{2senx+6} \le 0 $

$ \displaystyle \frac{(2senx+5)(senx-1)}{2(senx+3)}\le 0 $ che è ovviamente vera.

Quindi per $ b \in \mathbf{R_{0}^+} \ f(b)=\displaystyle \frac{3}{2} + b $

$ (2) $ il valore massimo di $ \displaystyle\bigg|senx+ \frac{2}{3+senx}+b\bigg| $ si ha quando $ \displaystyle senx + \frac{2}{3+senx} $ è minimo, e speriamo che sia anche negativo, così vien più grande ma non lo è .
Infatti $ \displaystyle senx + \frac{2}{3+senx} \ge 0 $

$ \displaystyle \frac{sen^2x+3senx+2}{3+senx} \ge 0 $

$ \displaystyle \frac{(senx+2)(senx+1)}{3+senx} \ge 0 $ che è evidentemente vera.

Dunque per $ b \in \mathbf{R^-} \ f(b)=|b| $

Ora o ho sbagliato qualcosa, o non ha minimo...o terza opzione io non lo vedo

terza opzione: $ y=3+sin{x} $.......

per eucla, punto (1)ok ma buond un po troppo grande, per il resto non ti complicare la vita al (2), comunque se $ b $ in $ R^- $ non significa che anche l'espressione precedente debba essere negativa per ottenere massimo..e.g prova $ b $ tende a $ 0^- $

f(-3/4)=3/4 è per caso il minimo che chiedi?
Perchè se $ b \in \mathbb{R}^- $ mi pare sia $ f(b)=max(3/2-|b|,|b|) $, e dato che il massimo supera la media dev'essere $ f(b) \geq \frac{3/2-|b|+|b|}{2}=\frac{3}{4} $, che si verifica in b=-3/4.

Ciao!

bella cosi la soluzione, bravo darkrystal