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Trovare per quali numeri naturali $ n $ la frazione $ \displaystyle \frac {10^n n^5-n+1} {11^n n^3-2n+6} $ è un numero intero.

FeddyStra ha scritto:Trovare per quali numeri naturali $ n $ la frazione $ \displaystyle \frac {10^n n^5-n+1} {11^n n^3-2n} $ è un numero intero.

Provo. Il denominatore e' divisibile per $ n $, mentre il numeratore no. Nessuna soluzione?

Se esistesse un $ n $ per cui $ \displaystyle \frac {10^n n^5-n+1} {11^n n^3-2n}=k $, con $ k $ intero allora

$ 10^n n^5-n+1 =k(11^n n^3-2n) $, che sarebbe riscrivibile

$ 1\equiv 0\,(\mod n) $

Rimane da dimostrare che n=1 non è soluzione, ma per fortuna $ $\frac{10}{9} $ non è intero XD
Lo metto giusto perchè se al denominatore ci fosse stato $ 11^n n^3-n $ anzichè $ 11^n n^3-2n $ la soluzione ci sarebbe stata, bisogna sempre fare attenzione ai casi banali!

FeddyStra ha scritto:Trovare per quali numeri naturali $ n $ la frazione $ \displaystyle \frac {10^n n^5-n+1} {11^n n^3-2n} $ è un numero intero.

E' incredibile come io riesca a commettere errori non solo nella risoluzione dei problemi, ma addirittura nel porli: in realtà la frazione doveva essere $ \displaystyle \frac {10^n n^5-n+1} {11^n n^3-2n+6} $.
Rilancio dunque il problema.

Su, ragazzi!
Volete un hint? Congruenze...

per curiosità come livello di difficoltà, dove lo collocheresti (si scrive così???)?

(forse c'è qualcosa che mi sfugge...)
cmq... caso banale: per n=0 abbiamo 1/6 che non è intero.
ora consideriamo n>0
se n è pari, il numeratore è pari-pari+1=dispari, mentre il denominatore è pari-pari+pari=pari
se n è dispari, il numeratore è pari-dispari+1=pari, mentre il denominatore è dispari-pari+pari=dispari
quindi non c'è soluzione

Per n pari è giusta, un numero pari non può dividere uno dispari, e quindi n non è pari. Ma su n dispari hai sbagliato, perchè un numero dispari può dividerne uno pari, per esempio $ 3|12 $

il denominatore è pari quindi n deve esse dispari, poi mod3 il numeratore è $ n^5-n+1=1 $ e invece sotto $ (-1)^n (n^3+n) = -n(n-1)(n+1)=0 $ assurdo, fine.

no....e io che cercavo di scomporlo.....

Ditemi se si può essere stupidi come me... controllavo le congruenze mod 3 e consideravo $ n\cong 2(mod 3) $ come se fosse stato pari!