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Visto che vanno di moda i gruppi posto un esercizio un po' tosto a riguardo:

Sia G un gruppo senza alcun elemento di ordine 2 e tale $ (xy)^2=(yx)^2 $ per ogni x,y in G. Dimostrare che G è abeliano

sqrt2 ha scritto:Visto che vanno di moda i gruppi posto un esercizio un po' tosto a riguardo:

Sia G un gruppo senza alcun elemento di ordine 2 e tale $ (xy)^2=(yx)^2 $ per ogni x,y in G. Dimostrare che G è abeliano

Immagino che un sia troppo semplice
$ (xy)^2 = x^2 * y^2 = y^2 * x^2 = (yx)^2 $

Una curiosità... come fa senza elementi ad avere ordine 2?

Infatti è sbagliata, perchè usi proprio quello che devi dimostrare!
$ (xy)^2=xyxy $ e $ xyxy= xxyy $ soltanto se $ xy=yx $, cioè se G è commutativo.

Significa che nessun elemento è l'inverso di se stesso (tranne il neutro).

Se non sbaglio però, per dimostrare la tesi è sufficiente vedere che la funzione
$ $f(x) = x^2 $ $ è biunivoca:

$ $ g^2 = h^2; gg = hh ; h^{-1}g=hg^{-1} ; (g^{-1}h)^{-1} = g^{-1}h ; (g^{-1}h)^2 = 1 ; g = h $ $

mi auguro di aver capito male la tua domanda...
Il testo è "Sia G un gruppo (senza alcun elemento di ordine 2)" e non "(Sia G un gruppo senza alcun elemento) di ordine 2"...

Mi correggo! Questa dimostrazione vale solamente se il gruppo ha ordine finito. Ci ripenso.

(Esco un secondo off topic rispetto l'esercizio)

sqrt2 ha scritto:Visto che vanno di moda i gruppi posto un esercizio un po' tosto a riguardo:

Sia G un gruppo senza alcun elemento di ordine 2 e tale $ (xy)^2=(yx)^2 $ per ogni x,y in G. Dimostrare che G è abeliano

Scusate l'ignoranza... cosa significa che un gruppo è abeliano?

Wikipedia risponderà ad ogni tuo dubbio.
E come nota generale a tutti: prima di domandare, assicuratevi che quel che volete non si possa ottenere con banale ricerca via google (digitando "Gruppo abeliano").

albert_K ha scritto:Mi correggo! Questa dimostrazione vale solamente se il gruppo ha ordine finito. Ci ripenso.

Ripensandoci ancora, mi è venuto in mente che invece è sufficiente l'iniettività della funzione per dimostrare la tesi, anche se l'insieme è infinito. Qualcuno mi conferma o smentisce?

albert_K ha scritto: Ripensandoci ancora, mi è venuto in mente che invece è sufficiente l'iniettività della funzione per dimostrare la tesi, anche se l'insieme è infinito. Qualcuno mi conferma o smentisce?

Io penso proprio che tu abbia ragione. L'esercizio proposto da sqrt2 è una diretta conseguenza dell'iniettività di tale funzione. Infatti essendo $ f(x)=x^2 $ iniettiva, l'uguaglianza delle immagini di xy e yx sotto la f implica l'uguaglianza di tali elementi, ovvero $ xy=yx $.

Tra l'altro è interessante osservare che il problema è equivalente all'iniettività di f: supponendo che sia abeliano,
$ ~ a^2 = b^2 \Rightarrow (ab^{-1})^2 = e \Rightarrow ab^{-1} = e \Rightarrow a=b $ (dove in un passaggio ho usato che non ci sono elementi di ordine 2).

Altra osservazioncina: l'immagine di f è contenuta nel centro. Infatti, facendo la sostituzione $ ~ y \rightarrow x^{-1}y $ nell'uguaglianza iniziale otteniamo $ ~ xy^2 = y^2x $.

Partendo dall'inizio:
$ ~ abab=baba $
buttando dentro $ ~ a = xb^{-1} $ otteniamo:
$ ~ xb^{-1}bxb^{-1}b = bxb^{-1}bxb^{-1} $
$ ~ x^2 = bx^2b^{-1} $
$ ~ bx^2=x^2b $
quindi i quadrati commutano con tutti gli elementi.

Tornando all'inizio:
$ ~ ababa^{-1}b^{-1}a^{-1}b^{-1} = e $
Ora ci butto dentro due quadrati generici:
$ ~ ababa^{-1}b^{-1}a^{-1}b^{-1}x^2x^{-2}y^2y^{-2} = e $
L'idea è che li posso mettere dove mi pare e, facendo la sostituzione giusta, invertire qualche elemento:
$ ~ abax^{-2}by^{-2}a^{-1}x^2b^{-1}y^2a^{-1}b^{-1} = e $
Voglio ottenere un quadrato, perchè se fa l'identità, posso semplificarlo! Mettiamo x=a, y=b, e otteniamo:
$ ~ aba^{-1}b^{-1}aba^{-1}b^{-1} = e $
... funziona...
$ ~ (aba^{-1}b^{-1})^2 = e $
Attenzione! L'ordine di $ ~ aba^{-1}b^{-1} $ non può essere 2!
$ ~ aba^{-1}b^{-1} = e $
$ ~ ab = ba $

e bravo edriv, puntuale come al solito!

Non so cosa vuoi dire... considera Z: è abeliano, non ha elementi di ordine 2, ma non è vero che ogni intero è un quadrato! [quadrato da intendersi addittivamente... cioè come il doppio di un numero], solo i pari lo sono.

Possiamo dire che è iniettiva, e infatti l'abbiamo già detto.