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Questo l'ho trovato carino...

Sia A una matrice simmetrica di $ \displaystyle\mathbb{R}^{4,4} $ avente rango 2.
Si sa che 2 è un suo autovalore, e che l'autospazio ad esso corrispondente è $ \displaystyle V=\mathcal{L}((1,2,0,1),(0,1,1,0)) $.
Determinare una base di autovettori di A e scrivere una matrice diagonale a cui A sia simile (il secondo punto è banale, ma va beh...).

Ciao Ponnamperuma,
supponiamo che una matrice come richiesta esista.
Poichè il rango è 2, allora il numero 0 è autovalore in corrispondenza del quale troverò due autovettori indipendenti che, essendo la matrice simmetrica, saranno ortogonali a quelli associati all'autovalore 2 e così trovo gli altri due che mi completano la base: (-2;1;-1;0) e (-1;0;0;1).
Ho però, in questo momento un dubbio: ma non dovrebbero essere ortogonali a due a due? Se così fosse la matrice in questione non può esistere perchè gli autovettori assegnati non sono tra loro ortogonali. Se hai voglia e tempo, controlla quest'ultima cosa (proverò a farlo anch'io ma io sono vecchio e ho troppo da fare.....)

Ciao,
non tener conto del dubbio circa l'esistenza. Infatti, la matrice esiste e non c'è contraddizione perchè ovviamente se prendo al posto del secondo che mi ha dato la differenza tra il primo ed il secondo trovo due autovettori ortogonali che generano l'autospazio associato all'autovalore 2.

Ponnamperuma ha scritto:Questo l'ho trovato carino...

Sia A una matrice simmetrica di $ \displaystyle\mathbb{R}^{4,4} $ avente rango 2.
Si sa che 2 è un suo autovalore, e che l'autospazio ad esso corrispondente è $ \displaystyle V=\mathcal{L}((1,2,0,1),(0,1,1,0)) $.
Determinare una base di autovettori di A e scrivere una matrice diagonale a cui A sia simile (il secondo punto è banale, ma va beh...).

utilizzando il teorema spettrale si può trovare una base di autovettori anche ortogonale.....