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Dimostrare che nessun numero della forma $ a^3+3a^2+a $, con $ a $ intero positivo, è un quadrato perfetto.

Forse semplice, ma istruttivo.

Ciao

Sia per assurdo
$ a^3+3a^2+a=k^2 $ (1)
Risulta essere quindi
$ a^3+2a^2+a=k^2-a^2 $
cioè
$ a(a+1)^2=(k-a)(k+a) $
Deve quindi verificarsi che uno dei due fattori a secondo membro divida $ a $ ma in realtà notiamo che se uno dei due lo divide, allora entrambi lo dividono.
Perciò, a secondo membro, un fattore si troverà con esponente almeno pari a 2.
Al contrario, il primo membro è divisibile al massimo per $ a $ perchè di sicuro $ (a+1)^2 $, non ha$ a $ tra i suoi divisori, eccezion fatta per
$ a=1 $, valore per il quale l'uguaglianza (1) è comunque falsa.
c.v.d.

Deve quindi verificarsi che uno dei due fattori a secondo membro divida $ a $

Perchè mai?
Ad esempio, $ ~ (3)\cdot (4) = (3 \cdot 2)\cdot(2) $, nessuno dei due fattori in cui ho raggruppato il secondo membro divide 3... boh, non ho capito che ragionamento hai fatto!
Bisogna stare attenti coi divisori!

Ho espresso il verbo in forma attiva anzichè passiva, equivocando.
Intendevo dire che avendo
$ a(a+1)^2=(k+a)(k-a) $
almeno una delle due parentesi è multiplo di $ a $, ma accettato questo, tutte e due sono in realtà multipli di $ a $

Il problema è che non è detto che una sia multipla di $ a $, perchè $ a $ non per forza è primo. Per esempio se $ a=4 $ e $ k=6 $ nessuna delle due parentesi divide $ a $, ma il loro prodotto si.

Colgo l'occasione per fare un riepilogo sulle proprietà della divisibilità:

- se p è un numero primo, allora $ ~ p \mid ab \Rightarrow p \mid a \lor p \mid b $. Cioè, se un primo divide un prodotto, allora divide almeno un fattore.
- se $ ~ a \mid c $ e $ b \mid c $ e a,b sono coprimi, allora $ ~ ab \mid c $
- se $ ~ a \mid bc $ e a,b sono coprimi, allora $ ~ a \mid c $
- se $ ~ a \mid b $ e $ ~ a \mid c $, allora $ ~ a \mid bc $

Se applicate una proprietà che non è di queste, pensateci bene prima!
Ricorrere al teorema fondamentale dell'aritmetica (ovvero scomporre tutto in potenze di primi) in genere risolve un sacco di lemmini semplici sulla divisibilità (in particolare tutti quelli qui sopra).

Forse va fatto così:Premetto per evitare malintesi che a^2 intendo il quadrato di a.
a^3+3a^2+a=a((a+1)^2+a).Ora il minimo valore che si può sommare ad (a+1)^2 per avere un quadrato perfetto é 2a+3,che è maggiore di a .
poichè ((a+1)^2+a)non ha alcun divisore comune con a,difatti sviluppando i calcoli si vede che differisce di 1 da un multiplo di a,il prodotto non potrà mai dare un quadrato perfetto perchè esiste almeno un divisore di((a+1)^2+a)che ha esponente dispari.
p.s:la dimostrazione in un passaggio non tiene conto che a può essere 1,ma tanto se così fosse il risultato della somma sarebbe 5.lo dico per i più puntigliosi...

Scusate un piccolo errore di distrazione 2a+3 è maggiore di a anche se a=0.Scusate la bestialità ,ma la fretta è una brutta bestia....

altro errore di distrazione:il minimo numero da sommare ad ((a+1)^2)è 2a+3.e non ad (a+1).
Spero mi perdoniate....

Embè,è corretta o no?

beh magari impara il $ LaTeX $ che così magari è più chiaro
cmq non ho capito nè perchè si debba aggiungere $ 2a+3 $ e perchè $ (a+1)^2+a $ non possa essere un quadrato, immmagino che le cose siano collegate ma mi sfugge il nesso...

P.S. puoi usare il tasto modifica in alto a destra del post anzichè inviarne 4

Hai ragione ho dato per scontato un pò di cosette:Considera la differenza:(a+2)^2-(a+1)^2=(a+2-a-1)(a+2+a+1)=2a+3.Ora (a+1)^2+2a+3 è il primo quadrato perfetto che puoi avere dopo (a+1)^2,ovvero(a+2)^2.Se ora fai (a+1)^2+a, essendo a minore di 2a+3 hai un valore compreso tra due quadrati perfetti consecutivi,ovvero(a+1)^2 e (a+2)^2,che non può essere evidentemente un quadrato perfetto. Riguardo alla Tex hai ragione,ma la scuola ultimamente mi fa una gran pressione e ho sempre una dannata fretta;ma quando faccio qualcosa che mi piacerebbe comunicarvi non riesco a trattenermi...quindi vi prometto che la imparerò appena posso;ma mica voi non risponderete ai messaggi finchè non imparo?

Io avevo in mente un'altra strada, ma non so se è giusta...
per a=1, non va bene
scompongo e ottengo
$ a(a^2+3a+1) $
da ciò posso avere due possibilità
1) a non è un quadrato e quindi $ a^2+3a+1 $ contiene a o un suo divisore, ma $ a^2+3a+1 $ è un multiplo di a e di un suo divisore +1, e quindi non è divisibile per a o per il suo divisore
2) a è un quadrato e quindi anche $ a^2+3a+1 $ è un quadrato
$ a^2+3a+1-k^2=0 $
è un equazione di 2° grado della quale devo cercare gli a interi e quindi
$ a= \frac{-3 \pm \sqrt{9-4(1-k^2)}}{2} $
a deve essere intero e quindi $ 9-4(1-k^2) $ deve essere un quadrato perfetto
$ 9-4(1-k^2)=x^2 $
$ 5+4k^2=x^2 $
$ 5=(x+2k)(x-2k) $
non ha soluzioni che soddisfano le condizioni iniziali

@ Carlein
Ok così è più chiaro
Non ti offendi se provo a riscriverla in un modo più comprensibile? XD

Vogliamo dimostrare che $ a^3+3a^2+a=a(a^2+3a+1) $ ha sempre un fattore primo con esponente dispari. Per fare questo prendo in considerazione solo $ a^2+3a+1=(a+1)^2+a $.
$ a>0 $ quindi $ (a+1)^2<(a+1)^2+a<(a+1)^2+2a+3=(a+2)^2 $ quindi $ (a+1)^2+a=a^2+3a+1 $ è compreso fra due quadrati perfetti consecutivi e non può esserlo a sua volta, ed ha quindi un fattore primo $ d $ con esponente dispari che non divide $ a $ perchè coprimo di $ a^2+3a+1 $. Quindi $ a^3+3a^2+a $ ha un fattore primo con esponente dispari e non può essere un quadrato perfetto.

io ho fatto come te fino al secondo punto;ma poi ho cercato di sbrigarmela con l'aritmetica e mi sembra che non ci siano errori in quanto dico;ma mi piacerebbe una conferma esterna perchè non mi fido mai di quando sono sicuro di quello che dico.
p.s:scusa Julio 14 scrivevo il messaggio a mod2 mentre tu mi hai risposto ,cmq ti ho risposto alla pagina successiva.