OliForum Matematico

Salve, visto che ultimamente si parla di serie, vi posto un esercizio che ho trovato nel parziale di analisi 2 (che non c'entra nulla con le serie)

$ y' = 1+x+y+cos(y) $
con y(0)=0

Dimostrare che $ y'>0 $ per $ x>0 $

(spero che era così il testo non ci danno i testi dopo l'esame e l'ho chiesto a 6 persone per conferma ).

Ciao!

Ciao,
supponiamo per assurdo che sia non vuoto l'insieme delle x positive in cui la derivata è non positiva e sia c il suo estremo inferiore. Poichè la derivata in 0 vale 2 e poichè tale derivata è continua, c è diverso da 0. Da tutto ciò ne consegue che nell'intervallo di estremi 0 e c la funzione è crescente strettamente e, quindi, in c è positiva dal momento che era nulla nel punto 0. Ora, se tieni conto del fatto che il coseno non può essere minore di -1, puoi provare che la derivata nel punto c è positiva e ciò è assurdo per la def. di c e per la continuità della derivata.