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Con l'intento dichiarato di far perdere tempo a ms88 e edriv, ecco un interessante problema.

Sia $ \ G $ un gruppo (non necessariamente finito) tale che, per ogni $ \ x,y\in G $ valgano:
$ \ x^6 y^6=(xy)^6 $
$ \ x^7 y^7=(xy)^7 $
$ \ x^{35} y^{35} =(xy)^{35} $

Dimostrate che $ \ G $ è abeliano.

Se domani mi becca di storia (e mi beccherà) son finito (a differenza di G, probabilmente), speriamo che almeno la dimostazione sia giusta...
$ ~ x^7y^7 = (xy)^7=(xy)^6(xy) = x^6y^6xy $
semplificando:
$ ~ xy^6 = y^6x $
ovvero le seste potenze stanno nel centro.

$ ~ (xy)^5 = (xy)^6y^{-1}x^{-1} = x^6y^6y^{-1}x^{-1} = x^6y^5x^{-1} $

Usiamo sta formula per calcolare la trentacinquesima:
$ ~ x^{35}y^{35} = (xy)^{35} = ((xy)^7)^5 = (x^7y^7)^5 = x^{42}y^{35}x^{-7} $, da cui semplificando:
$ ~ y^{35}x^7 = x^7y^{35} $
ma sfruttando che $ ~ x^6 $ commuta:
$ ~ y^{35}x^7 = xx^6y^{35} = xy^{35}x^6 $
che semplificando diventa:
$ ~ y^{35}x = xy^{35} $

Ora, per ogni y, sappiamo che $ ~ y^6 $ sta nel centro, e $ ~ y^{35} $ sta nel centro, quindi (il centro è un sottogruppo) $ ~ y = (y^6)^6(y^{35})^{-1} $ sta nel centro.
Ogni elemento sta nel centro, quindi G è abeliano.

Velocissimo Edriv.

Proviamo più in generale; sia $ \ A\subseteq \mathbb{Z} $ e $ \ G $ un gruppo tale che per ogni $ \ x,y\in G $ e ogni $ \ a\in A $ valga
$ \ x^a y^a =(xy)^a. $
Sia $ \ M $ il massimo comun divisore dei numeri $ \ \binom{a}{2} $ al variare di $ \ a\in A $.
Dimostrate che se $ \ M=1 $ $ \ G $ è abeliano e mostrate con un controesempio che se $ \ M $ non è 1 $ \ G $ potrebbe non essere abeliano.

P.S.
Sei stato interrogato?

Certo che sono stato interrogato! Però ho preso 7 e mezzo (si vede che dopo un mese di interrogazioni qualcosa l'ho assorbito comunque)

Tornando al problema, che è molto interessante, se non che la tesi è già un hint alla strada da seguire...
Sia G un gruppo, e definiamo C come l'insieme delle coppie di interi $ ~ (a,b) $ tali che:
$ ~ x,y \in G \Rightarrow x^ay^b = y^bx^a $

Ora ci servono un po' di proprietà (tutte facili, chiaramente)
$ ~ (a,0) \in C $
$ ~ (a,b) \in C \Rightarrow (ka,jb) \in C $
$ ~ (a,b),(a,c) \in C \Rightarrow (a,kb+jc) \in C $
$ ~ (a,b) \in C \Rightarrow (b,a) \in C $
Dalla seconda proprietà segue anche che $ ~ (a,b),(a,c) \in C \Rightarrow (a,\mbox{gcd}(b,c)) \in C $

Ora, a partire dalle ipotesi, troviamo qualche elemento in C!
$ ~ (xy)^a = x^ay^a $, moltiplicando a destra per $ ~ x^{-1} $ e a sinistra per $ ~ y^{-1} $:
$ ~ (yx)^{a-1}=x^{a-1}y^{a-1} $
$ ~ (yx)^a = x^{a-1}y^{a-1}yx $
$ ~ y^ax^a = x^{a-1}y^{a-1}yx $
$ ~ y^ax^{a-1}=x^{a-1}y^a $

Quindi $ ~ (xy)^a = x^ay^a \Rightarrow (a,a-1) \in C $ (è sempre sottointeso "per tutti gli x,y").
Qual è l'idea del problema?
E' applicare saggiamente le proprietà viste sopra per ottenere:
$ ~ (a,a-1) \in C $ quindi $ ~ (a(a-1),a-1) \in C $
$ ~ (a-1,a) \in C $ quindi $ ~ (a(a-1),a) \in C $
$ ~ (a(a-1),a) \in C, (a(a-1),a-1) \in C \Rightarrow (a(a-1),1) \in C $
che ci dice che la a(a-1) esima potenza di un elemento sta nel nucleo.
Tornando alla notazione del problema, segue che $ ~ \forall a \in A, (a(a-1),1) \in C $. Quindi, per una proprietà già detta e il fatto che Z (chi più di lui) è euclideo, detto:
$ ~ d = \mbox{gcd}_{a \in A} a(a-1) $, possiamo dire che $ ~ (d,1) \in C $.
Se per caso d=1, abbiamo la tesi.
Se per caso non lo è, osserviamo che deve essere 2. Se d > 2 divide $ ~ a(a-1) $ per ogni $ ~ a \in A $, allora (un primo dispari che divide d, oppure 2, nel caso d sia una potenza di due e quindi almeno 4) divide $ ~ \frac 12 a(a-1) $ per ogni $ ~ a \in A $, contraddizione.

Resta il caso d=2, cioè per lo meno sappiamo che $ ~ (2,1) \in C $.
Però qua per ora mi blocco... vedremo

Lol, in effetti a(a-1) è sempre pari, quindi d è almeno 2...

... e quindi in quello sproloquio non ho dimostrato niente

Alla fine comunque sapere che i quadrati commutano risulta abbastanza comodo.
Sia A l'insieme di tutti gli a tali che
$ ~ x,y \in G \Rightarrow (xy)^a = x^ay^a $
(sto aggiungendo un po' di elementi all'A originale)
Sia A' il sottoinsieme di A costituito dai suoi elementi pari.

Lemmino: se $ ~ a \in A $, allora uno tra a ed a-1 appartiene ad A'.
Se a è pari, allora vabeh... supponiamo che a sia dispari.
Allora sappiamo che $ ~ (xy)^{a-1} = y^{a-1}x^{a-1} $ (notate che si scambiano le lettere), ma a-1 è pari, quindi $ ~ x^{a-1},y^{a-1} $ commutano, quindi:
$ ~ (xy)^{a-1} = x^{a-1}y^{a-1} $
$ ~ a-1 \in a' $.

Lemmino due: A' è un sottogruppo di Z.
Dati $ ~ a,b \in A' $, sappiamo che:
$ ~ x^ay^a = (xy)^a = (xy)^b(xy)^{a-b} = x^by^b(xy)^{a-b} $
Ora, siccome a,b sono pari, e i quadrati commutano, succede che possiamo fare questo lavoro di semplificazione:
$ ~ x^{a-b}y^{a-b} = (xy)^{a-b} $
A' non è vuoto ed è chiuso rispetto alla differenza, quindi è un sottogruppo.

Siccome A' è un sottogruppo di Z, per caratterizzarlo basta considerare i più piccolo intero positivo contenuto in esso. Sia d questo intero. Allora $ ~ x \in A $ se e soltanto se $ ~ d \mid x $.
Per ogni $ ~ a \in A $, abbiamo $ ~ a \in A $ oppure $ ~ (a-1) \in A $, cioè $ ~ d \mid a $ oppure $ ~ d \mid a-1 $; in ogni caso possiamo stare sicuri che $ ~ d \mid a(a-1) $.
Quindi, per ogni $ ~ a \in A $, d divide $ ~ a(a-1) $. Ma abbiamo già visto sopra che, per le ipotesi di coprimalità, questo implica che d è 1 o 2, d inoltre è pari, quindi d=2.

Siccome $ ~ d \in A' $, quindi tanto meglio $ ~ d \in A $, sappiamo che:
$ ~ (xy)^2 = x^2y^2 $
$ ~ xyxy=xxyy $
$ ~ yx=xy $