OliForum Matematico

data la serie
$ \displaystyle\sum{tan(\frac{n^{3x}+\sqrt{n}}{2n^{5}-n+2})} $
come si può fare per dimostrare, come sembra a occhio, che essa non converge per $ x\ge 3/5 $(cioè per esser sicuri che, pur non essendo l'argomento della tan infinitesimo, essa non sia comunque infinitesima per qualche x (cosa improbabile, ma...))?

Ciao,
la serie diverge se x non è inferiore a 4/3 (perchè il termine generale è infinitesimo di ordine non superiore a 1 o addirittura è non infinitesimo); converge altrimenti (perchè il termine generale risulta infinitesimo di ordine maggiore di 1).

sul converge è abbastanza banale, sulla divergenza/indeterminatezza, bisogna forse stare attenti a dire che il termine generale non è infinitesimo per x>4/3, in altre parole, chi ti garantisce che non esistano degli x tali che la tangente, pur avendo argomento infinito, non sia infinitesima (il fatto che non sia così, che pare ovvio, andrebbe in qualche modo dimostrato)

per $ ~|x| \ll 1 $ $ $\tan{x}\approx x$ $

Non c'è da tenere conto che $ \tan{x}=0 $per $ x=k\pi $?

Ciao piazza88,
nel tuo primo messaggio c'era quel 3/5 errato che ha attirato la mia attenzione su quel particolare non facendomi notare la presenza della tangente. A causa di ciò la serie non mi pare più banale (come lo è effettivamente se manca la tangente) e presumo che tu abbia ragione nel senso che la serie può avere termini a segno variabile, il termine generale non è regolare e, dunque, a priori può accadere di tutto.

in realtà quel 3/5 voleva naturalmente essere un 5/3;
per il resto si potrebbe ragionare così:

-se x minore di 5/3 la serie è a termini positivi infinitesimi, e converge per x minore di 4/3; diverge per x>=4/3;

-se x>=5/3, l'argomento della tangente non è infinitesimo, ma essa potrebbe cmq essere infinitesima per qualche x; ciò tuttavia si verifica solo se l'argomento, che si riduce a $ \frac{n^{3x}}{2n^5} $, è $ =n\pi $, cosa che non succede mai, perchè $ 1/2*n^{3x-6} $può o tendere a zero o a 1 o a +inf, ma mai a pi, e dunque la tangente non può essere infinitesima (credo)

luluemicia ha scritto:A causa di ciò la serie non mi pare più banale (come lo è effettivamente se manca la tangente) e presumo che tu abbia ragione nel senso che la serie può avere termini a segno variabile, il termine generale non è regolare e, dunque, a priori può accadere di tutto.

concordo.

illiceità generale della serie.

provate a mettere $ x=2,210352332... $ e fate la somma della serie gia solo nei primi due termini..
dai, provate...

...

semplicemente: chi vi assicura che tali termini della serie esistano e finiti?
...i numeri parlano da soli.
$ \displaystyle \frac{n^{3x} + \sqrt n}{2n^5-n+2}=\frac{2k+1}{2}\pi $ con k in Z.
da cui

$ \displaystyle x=\frac {ln ((\frac{2k+1}{2})(2n^5-n+2)\pi -\sqrt n)}{3ln n} $


conclusione: tale serie per molti valori (ma non tutti, e.g. x=0, facilmente dimostrabile) non è ke non converge o non diverge o è irregolare: non è proprio definita!!

scusa la domanda piazza88, ma dove l'hai preso questo esercizio???

l'ho preso da qui: www.math.unipd.it/~maraston/Mat1F/serie_new.pdf
(numero 8 )

da quanto dici, risulta che per ogni n, esiste un x tale che l'argomento della tangente va a +/- pi/2; ma ciò implica soltanto che quel termine della serie non sia definito, perchè essendo x un parametro resta costante e al termine dopo la tangente è di nuovo definita, essendo cambiato n e rimasto costante x; chi ti garantisce che troverai di nuovo un k intero che soddisfi ancora la tua equazione e per di più che lo troverai per ogni n; non sto dicendo che sia impossibile, ma resta da provare che ciò avviene o non avviene e in quali casi.

se leggi bene la mia risposta ho gia detto che avviene per MOLTI valori maNON per tutti gli x in R.
se x=0 infatti $ \displaystyle \frac {1+\sqrt n}{2n^5-n+2}={\frac{2k+1}{2}\pi} $non ha nessuna soluzione in termini di $ k $ e $ n $ poichè viene $ 2(1+\sqrt n)=\pi (2k+1)(2n^5-n+2) $ , elevando al quadrato e facendo le differenze per eliminare $ \sqrt n $ otteniamo
$ \displaystyle 4(n-1)=(\pi(2k+1)(2n^5-n+2))(\pi(2k+1)(2n^5-n+2)-4) $
togliendo a mano n=1 abbiamo uguaglianza tra interi e irrazionali.

con questo voglio dire che:
esistono termini per cui la serie è sempre definita.
esistono termini per cui la serie NON è definita.

ok, e fin qui sono d'accordo.
quello che volevo capire era se, scelto un certo x come parametro, la tangente si annulla solo per uno o per molti/infiniti termini della serie;

a questo punto è lecito aggiungere che per x=0 per un valore finito j vale
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{j-1}{\tan {\frac {1+\sqrt i}{2i^5 -i+2}} + \sum_{i=j}^{\infty}{\tan {\frac {1+\sqrt i}{2i^5 -i+2}} $ da cui essendo la prima un valore finito per ogni j in N e dato che la seconda (per j abbastanza grande) si avvicina a $ \sum_{i=j}^{\infty}{\tan {\frac {i^{-9/2}}{2}}} = {1/2} \sum_{i=j}^{\infty}{i^{-9/2} $ allora tale serie esiste e converge.

analogamente (se è lecito) la serie converge per ogni x<4/3 (come diceva luluemicia).però bisogna fare tre casi: se x<1/2 allora dopo unpo la serie aggiungerà sempre $ 1/2 \frac {1}{n^{5-1/2}} $. se x=1/2 allora si aggiunge $ n^{-9/2} $, se $ 1/2 < x <4/3 $ analogo.

scusate il doppio post ma se facevo tutto insieme faceva un casino..

comunque..
per $ 4/3 \le x \le 5/3 $ la serie diverge poichè si aggiungono da un certo punto termini positivi prossimi allo zero e maggiori o uguali a 1/n.

per x>5/3 la serie diviene "ballerina" nel senso piu assoluto
spero sia chiaro (luluemicia aveva azzeccato quasi tutto.. )

ero perfettamente d'accordo con te fin dall'inizio;
il mio interesse era capire meglio cosa significa nella pratica quel "ballerina" che dici tu

Ciao jordan,
complimenti per l'analisi che hai fatto; preciserei solo, pur confermando che per x=5/3 diverge, che ciò è dovuto al fatto che la serie è a termini positivi e il termine generale è non infinitesimo (tu parli di termini "prossimi allo zero" da 4/3 a 5/3 includendo anche il 5/3; ciò è giusto se escludi il 5/3).[/quote]