OliForum Matematico

Ho dei problemi con una matrice:

$ B = \beta \cdot A = \begin{bmatrix} 0 & \beta\\ -\beta & 0\\ \end{bmatrix} $
dove A è
$ \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\\ \end{bmatrix} $
di cui mi chiedono di trovare l'esponenziale. Suggerimento: calcolare B^2 B^3 ecc. e trovare una legge ricorsiva per le potenze pari e dispari, poi da lì è facile.
Ora io calcolo e mi viene fuori una cosa del tipo (l'uno scritto strano è l'identità)

$ \begin{array}{l} B^2 = -\beta^2 \cdot \mathbf{1}\\ B^4 = \beta^4 \cdot \mathbf{1}\\ B^6 = -\beta^6\cdot \mathbf{1}\\ \end{array} $

$ \begin{array}{l} B^3 = -\beta^3 A\\ B^5 = \beta^5 A\\ B^7 = -\beta^7 A\\ \end{array} $

come diavolo trovo una qualche ricorsione che rispetti questa successione di periodo così balordo???? le ho provate tutte, da

$ -(-1)^{3n+2} $

fino a fondermi il cervello...

Intanto è chiaro che, se $ ~ \beta $ è una matrice scalare:
$ ~ \beta A = A \beta $ per ogni matrice A, ed inoltre:
$ ~ (\betaA)^n = \beta^n A^n $
Quindi la cosa interessante è trovare le potenze di A.

Visto che $ ~ A^2 = -\mathbf{1} $, trovi subito che $ ~ A^{2n} = (-1)^n\mathbf{1} $ e quindi $ ~ A^{2n+1} = (-1)^n A $.
(mi pare che hai calcolato male gli esponenti dispari, al posto delle B dovrebbero esserci delle A)

Però a questo punto non ho capito qual è la domanda...

Ora correggo, avevo sbagliato a scrivere nella fretta.
Adesso ho capito, grazie... la domanda nasceva dal fatto che non riuscivo a trovare come esprimere il segno alterno.

killing_buddha ha scritto: come diavolo trovo una qualche ricorsione che rispetti questa successione di periodo così balordo???? le ho provate tutte, da

$ -(-1)^{3n+2} $

fino a fondermi il cervello...

Tre soli caratteri:
$ i^n\, $

fph ha scritto: Tre soli caratteri:
$ i^n\, $

non
ci
avevo
pensato

Questi numeri complessi hanno tutto il mio ammore incondizionato <3