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Se $ x_1, x_2 $ sono le radici del polinomio $ x^2 -6x+1 $ allora per ogni intero $ n \in \mathbb{N} $

$ {x_1}^{n}+{x_2}^{n} $ è un intero e non è divisibile per 5.

bel problemino..

tesi A: $ {x_1}^n+{x_2}^n $ è intero.
per ipotesi dato il polinomio $ x^2-6x+1 $ allora $ x_1+x_2=6 $ e $ x_1x_2=1 $.
per la somma dei quadrati delle radici abbiamo $ {x_1}^2+{x_2}^2=(x_1+x_2)^2- 2x_1x_2 $, quindi anch'esso intero.
supponiamo che $ {x_1}^{n-1}+{x_2}^{n-1} $ e $ {x_1}^{n}+{x_2}^{n} $siano interi.
allora $ {x_1}^{n+1}+{x_2}^{n+1}=(x_1+x_2)({x_1}^n+{x_2}^n)-x_1x_2({x_1}^{n-1}+{x_2}^{n-1}) $quindi anch'esso intero.

tesi B: $ {x_1}^n+{x_2}^n $ non è congruo 0 mod 5.
sia $ P(i) $ il residuo modulo 5 di $ {x_1}^i+{x_2}^i $.
allora P(1)=1 e P(2)=-1.
inoltre per la ricorsione precedene abbiamo $ P(i+1)=P(i)-P(i-1) $ da cui otteniamo di seguito una successione di residui P(n) di periodo 6, tutti diversi da 0, della forma (1, -1, -2, -1, +1, +2), (1, -1, -2...)(..)..

uhm...io mi ero incasinato la vita...cmq per la prima parte si può anche vedere che col binomio di newton vanno via facilmente le radici per la seconda...beh...mi sa che così non si arrivava a niente

Quello che ha dimostrato jordan è un fatterello noto: posto $ s_n=x^n+y^n $ si ha $ s_n=\sigma_1s_{n-1}+\sigma_2s_{n-2} $ dove $ \sigma_1, ~\sigma_2 $ sono le somme simmetriche elementari.

lo so benissimo che è un fatto noto, e come risposta ho postato un altro problemino che ci serve un altro fatto noto..