OliForum Matematico

Sia $ a_n $ una successione in $ R $
tale che
$ Lim_{n\to\infty} \frac {a_{n+1}} {a_n} = l $ con $ l\in\mathbf{R} $

Dimostrare che
$ Lim_{n\to\infty} \sqrt[n] {a_n} = l $

Dedurne infine che

$ \begin{displaystyle}\ $ $Lim_{n\to\infty}$ $\frac{n} {\sqrt[n] {n!}} = e \end{displaystyle} $ ($ e $ numero di nepero)

sentite se può andare...
all'inifinito abbiamo che la serie va come
a(n+k)=a(n)l^k per ogni k in N
quindi
lim (k->+infin, n->+inf) (a_(n+k))^(1/n+k)= l^(k/n+k) a_n ^ (1/n+k) che per k molto piu grande di n fa proprio l

Scusate il latex che nn uso ma da questo computer nn ci stanno le parentesi graffe [/tex]

oggi mi sento da limiti
(qualcuno mi corregga se dico ca**ate)

definiamo $ a_n= \frac{n^n}{n!} $
per ipotesi quindi vale:
lim (n->+infinito) $ \frac {a_{n+1}}{a_n}=\frac {(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} $ cioè $ (1+\frac{1}{n})^n=e $ per definizione.

la tesi diviene $ lim_{n->\infty}\sqrt [n]{\frac{n^n}{n!}}=lim{\sqrt[n]{a_n} $ che, per quanto dimostrato prima, fa lo stesso limite dell'ipotesi,cioè e.

ok?