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Ecco, per chi non c\'era, il testo della gara di Milano di oggi:
 
 
 Tempo concesso: 3 ore
 
 [segue solita spatafiata utile solo per la gara, non per esercitarsi a casa]
 
 
 Quesito 1 (3 punti)
 
 Determinare tutte le soluzioni reali dell\'equazione: 4[x] = 3x, dove [x] indica la parte intera del numero reale x (cioè il massimo intero n tale che n<=x).
 
 
 Quesito 2 (4 punti)
 
 Qual è la probabilità che, in sei lanci consecutivi di un dado, si ottengano tutti i possibili valori, da 1 a 6, non necessariamente in questo ordine?
 
 
 Quesito 3 (5 punti)
 
 Un numero naturale si dice palindromo se la sua espressione in base 10 risulta simmetrica: 12421, 1221 sono esempi di palindromi. Dimostrare che 2001 non si può scrivere come somma di due numeri palindromi.
 Trovare infiniti numeri che non sono somma di due numeri palindromi.
 
 
 Quesito 4 (8 punti)
 
 Dimostrare che fra 50 numeri primi, scelti a caso e distinti fra loro, ve ne sono 13 con la seguente proprietà: comunque presi due numeri fra questi 13, la loro differenza è divisibile per 5.
 
 
 Quesito 5 (9 punti)
 
 Sia ABC un triangolo rettangolo in A, e sul lato BC si costruisca il triangolo BCD, equilatero ed esterno ad ABC. Dimostrare che le lunghezze AB, AC e AD non possono essere tutte razionali.
 
 
 Quesito 6 (10 punti)
 
 Sia ABC un triangolo di area pari a 1; si considerino le rette parallele, passanti per un punto P sul lato BC, agli altri due lati; il triangolo rimane così suddiviso in tre regioni.
 Determinare tutti i valori che può assumere l\'area della maggiore di queste regioni.
 
 
 Quesito 7 (11 punti)
 
 Dimostrare che un polinomio p(x) avente coefficienti interi non può avere radici intere se p(0) e p(1) sono dispari.
 
 
 Risparmio ogni commento sulla mia prestazione. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Davide_Grossi il 06-02-2003 20:11 ]

Ciao davide, mi potresti dire i tuoi risultati?
 i miei sono:
 1) 0; 1,3 periodico; 2,6 periodico
 2) 5/324
 3) era una dim...
 4) perchè c\'erano almeno 13 primi tutti con lo stesso resto divisi per 10
 Allora la loro differenza era divisibile per dieci
 5) bo
 6) bo
 7) bastava provare con un pari e poi con un dispari.
 
 ps:in che parte dell\'aula eri seduto oggi?

Ero seduto nella parte destra in alto, il più in alto di tutti, uno capellone (ma ancora per poco) per intenderci.
 Non commento i risultati, sono in crisi mistica.
 
 [crisi mistica off]
 p.s: strappo alla regola, i risultati direi che sono giusti, tranne che non ho capito la soluzione del sette.
 [/crisi mistica off]

Per fare il primo si possono disegnare le due funzioni 4[x]=y e 3x=y, e vedere i loro punti di intersezione....................................... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: massiminozippy il 06-02-2003 20:57 ]

sia p(x)=ax^n+bx^(n-1)...+c
 se p(0) è dispari allora c è dispari
 se p(1) è dispari allora la somma dei coefficienti è pari
 se sostituiamo x con un dispari il valore parità/disparità(non mi viene un termine migliore)dei coefficienti dunque la somma dei termini con coefficiente sarà ancora pari che sommata con un dispari(il termine noto c) fa dispari (<>0)
 se sostituiamo x con un pari tutti i termini con coefficiente diventano pari quindi la somma dei termini con coefficiente fa pari che sommato al termine noto che è dispari fa dispari(<>0)
 x massimino: non credo sia sufficiente la sol. grafica(anche se è un\'utile verifica dei risultati)... comunque se poni x = [x]+y l\'eq. diventa: [x]=3y con y<1<x...ora si risolve con poco.
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 06-02-2003 21:10 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 06-02-2003 21:11 ]

Qualcuno di buon cuore che ha risolto il 5 può postare la soluzione? E\' l\'unico che non sono riuscito a fare, anche se in treno mi è venuta una mezza idea (piano cartesiano)

io tutto tranne il 5, il fatto che neppure haus l\'abbia risolta mi consola <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> l\'unica soluzione che ho visto per ora era basata sulla goniometria brutale, che schifo, io ho passato un\'ora abbondante a cercare una soluzione sipatica carina ed elementare

Voto per i metodi brutali, possono salvarti la pelle in certe situazioni...

qualche considerazione sul 5.
 
 chiamo a l\'ipotenusa e b e c i cateti del triangolo rettangolo, h l\'altezza rispetto ad a; d la diagonale AD; k l\'altezza del traingolo equilatero; con q
 indico la distanza dei piedi di h e di k, cioe\' (fatti un po\' di conti) q= |b^2-c^2|/(2a)
 se b o c non sono razionali non c\'e\' niente da provare.
 
 1) se sono entrambi razionali, allora a^2=b^2+c^2 e\' razionale;
 
 2) h=bc/a ==> h^2 e\' razionale;
 
 3) q^2 e\' razionale;
 
 3) d^2=q^2+(h+k)^2 = q^2+h^2+ k^2+2hk = r1+ 2*bc/a * rq(3)a/2 =
 
 r1+bc*rq(3). Percio\' dato che bc ed r1(=q^2+h^2+k^2) sono razionali d non puo\' essere razionale.
 
 
 che ne dite? e\' abbastanza elementare?
 
 
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 07-02-2003 11:43 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 07-02-2003 12:06 ]

Confermo anche la validità anche della via analitica:
 dopo un po\' di calcoli abbastanza banali viene AD=2*sqrt(a^2+b^2+4ab*sqrt(3)) con a e b la metà della lunghezza dei cateti....
 
 Averci pensato prima... bastavano dieci minuti... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ale86 il 07-02-2003 13:49 ]

Scusatemi, ma sono ancora in prima e quindi non ho certe conoscenze.
 Come si può calcolare il punto di intersezione di due funzioni senza poter confrontare i grafici?
 
 DOMANDA CON RISPOSTA SCONTATA: si potevano usare le calcolatrici?
 
 RISPOSTA SCONTATA: certo che no!
 
 Ci ho preso?

stessa cosa di kayo... 2 ore perse a cercare la soluzione bella... avevo lì la soluzione coi contazzi bell\' e pronta da risolvere ma, un po\' per pigrizia e un po\' per sfiducia nelle mie capacità di portare fino in fondo un contazzo senza fare errori, l\'ho lasciata al suo posto. però il fatto che neppure haus l\'abbia risolta non mi consola, perchè io dovevo recuperare dal vergognoso risultato della prima gara...e con questo punteggio non l\'ho fatto di certo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> ... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> ......... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">

io sono uno di quelli che ha scelto la via brutale, con la trigonometria mi veniva che AD=(radq3*AB+BC)/2 senx, posto x l\'angolo formato da AB e AD, quindi chiaramente non possono essere tutti razionali. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

Quesito 6
 
 Siano a1 e a2 le parti in cui P divide BC=a e siano T1, T2, P le arre dei poligoni determinati dai tagli per P e che contengo rispettivamente C, B ed A.
 
 Si ha che T1=(a1/a)^2, T2=(a2/a)^2 e da T1+T2+P=1 e a1+a2=a si ottiene che P=2 a1a2/a^2.
 
 La funzione max {T1,T2,P} funzione di a1/a e\' continua, simmetrica rispetto ad a1/a=1/2 assume il suo massimo in a1/a=0 (e a1/a=1) che vale 1 e il suo minimo in a1/a=1/3 e (a1/a=2/3, quando a1^2=2a1a2=2a1(a-a1)) che vale 4/9. Quindi la mmasimma area ottenuta dai tagli puo\' assumere tutti i valori in [4/9, 1]
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 07-02-2003 15:02 ]

Incredibile, la pagina con il testo della prima gara é stata modificata l\'ultima volta il 24/01/2003!

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Gara di Milano del 6/2/2003: TESTO