suppongo che operi in Zdato che usi i moduli..
allora, $ 2(x^2+y^2)=2(x+y)^2-4xy \equiv 5 \pmod 7 $ cioe $ 2(x+y)^2\equiv 2 \pmod 7 $. da sottolineare che quando abbiamo un fattore a destra e sinistra del segno di congruenza non si puo eliminare..
ma in questo caso notando che $ z^2 \pmod 7 $ è pari solo a 0, 1, 4, 2 allora possiamo concludere che $ x+y \equiv +1 \pmod 7 $ oppure $ x+y \equiv -1 pmod 7 $ e $ xy\equiv 1 \pmod $ per ipotesi.
CASO I. chiamiamo $ a $ e $ b $ i residui modulo 7 di $ x $e $ y $, con $ a,b \in {0,1,2...6} $. $ a+b $ vale al massimo 12 quindi poiche deve essere $ ab \equiv 1 \ pmod 7 $ allora $ a+b $ puo valere solo 1 (caso assurdo) o 8 (che dà come soluzione solo la coppia simmetrica (3.5)(5,3)).
CASO II.dato che $ a+b\equiv 6 \equiv 13 $ ma $ a+b <13 $ allora si ha per forza che$ a+b=6 $ e $ ab\equiv 1 $, che dà come unica soluzione accettabile le coppie simmetriche (2,4)(4,2).
riassumendo le coppie che soddisfano la tesi sono tutte e sole le coppie (x,y) tali che $ (x,y)\equiv (2,4) o (4,2) o (3,5) o (5,3) \pmod 7 $.
bye
