OliForum Matematico

Per quali valori del primo termine $ a_0 $ tutti i termini $ a_k $ della successione, definita da $ a_{n+1}=2a_n -n^2 $, sono maggiori o uguali a zero?

chi ha l'ideona?
il testo nonlho modificato

La crescenza di $ a_n $ e' lineare, mentre n viene sottratto in modo quadratico. Mi viene in mente, ma potrei anche sbagliarmi che da un certo n in poi, $ n^2>a_n $

Io un idea più precisa ce l'avrei:purtroppo sto a scuola qundi non ho molto tempo;provo a farvela capire:Chiamiamo ao il generico primo termine,dunque
a(n)=2^n *ao -x-n^2.Dove x è la somma algebrica di tutti i termini negativi,escluso n^2.Ad esempio in a(2)=2(2a-1)-4,x=2*-1=-2.
2^n*ao-x-n^2>o dà ao>(n^2+x)/2^n.Poi consideriamo il successivo 2(2^n*ao-x-n^2)-(n+1)^2 implica ao>(3n^2+2x+1-2n)/2^(n+1).
Ora confrontando i due valori si ha che il secondo è sempre maggiore del primo ne segue che il valore di ao è sempre crescente e non vi può essere valore finito che soddisfi la richiesta del problema.
Scappo perchè sennò vengo sospeso
Fatemi sapere.

Anche io ero a lezione. Comunque mi sono calcolato $ a_{n+2} $ durante la pausa dell'ora di statistica e mi veniva minore di $ a_{n+1} $ usando $ a_n $. Non potevo dire di più perché anche io avevo lezione!

Ma siete sicuri che non si possa mai?? Io ho provato con $ a_0=3 $ e mi pare che a_n resta positivo. Voi per quali a_0 avete fatto la prova???

ciaociao!!

Hmm Carlein, a parte che la formula è $ a_{n+1}=2a_{n}-n^2 $, quindi
$ a_2=2a_1-1 $ e non -4, non si capisce molto di quello che hai scritto... per favore, impara ad usare il tex, non è difficile.
E poi, un suggerimento "a priori" (nel senso che il problema non ho provato a farlo ma di solito questo tentativo va fatto):

Un cretino ha scritto:Dato n, quali valori di a_0 fanno sì che a_n=0? Al crescere di n, come si comportano questi valori?

Ah, se fosse un suggerimento che non porta a niente, prego jordan di farmelo notare.

Allora mi scuso prima di tutto con mistergiovax non volevo offenderti.Poi mi scuso per non aver ancora imparato Latex e per aver scritto la soluzione in una maniera incomprensibile.In secondo luogo mi sono sbagliato poichè ho lavorato sulla formula sbagliata:a(n)=a(n-1)-(n)^2.Scusate stamattina prima di uscire l'ho letta e memorizzata male.Comunque la mia idea che su quella formula aveva successo è questa:Scrivo l' equazione di a(n) in funzione di ao vedo di quale valore deve essere maggiore ao.Poi faccio la stessa cosa con a(n+1),e metto a confronto i due valori:se il secondo è maggiore del primo per qualsiasi valore positivo di n ,e se,nel mio caso era così,la loro differenza è sempre maggiore o uguale a 1 allora i valori di ao sono divergenti,ovvero non esisterà mai un ao che soddisfa le condizioni.Ora non so se questo si può adattare anche alla formula esatta,a occhio direi di sì ma non ci metto la mano sul fuoco.Nel frattempo io mi eclisso nella promessa che non scriverò mai più una formula su questo forum fin quando non imparerò latex.Perdonatemi ancora per la mia schifosa pigrizia.

Febo ha scritto:Ma siete sicuri che non si possa mai?? Io ho provato con $ a_0=3 $ e mi pare che a_n resta positivo. Voi per quali a_0 avete fatto la prova???

ciaociao!!

$ a_2_4=-46 $ con $ a_0=3 $

0 . 3
1 . 2*3-0^2=6
2 . 2*6-1^2=11
3 . 2*11-2^2=18
4 . 2*18-3^2=27
5 . 2*27-4^2=38
6 . 2*38-5^2=51
7 . 2*51-6^2=66
8 . 2*66-7^2=83
9 . 2*83-8^2=102
e andando avanti così si arriva a
24 . 2*578-23^2=627
che non mi sembra negativo.
giang92, rifai i conti

Avevo dato un hint, ma poi ho visto che il problema è fuori da poco, ed è ancora presto.

molto strano, non mi ero fidato di farli a mano e aveno scritto addirittura un programma.
bah, anche i computer sbagliano.

Soluzione sbiancata... non barate!!

Se a_0=3, a_n=n^2+2n+3, come si può facilmente verificare "pluggandoci" dentro n=0 e verificando che a_{n+1}=2a_n-n^2=2(n^2+2n+3)-n^2=n^2+4n+6=(n+1)^2+2(n+1)+3. Perciò evidentemente 3 funziona... e anche tutti quelli più grandi! Facile invece vedere che 2 non va bene

Ciao!

A davide:

pero' sei tu che bari... penso si intendesse $ a_0\in\mathbb{R} $..

Comunque, e imbianco per sport, un suggerimento generale (che nessuno ha parte davide ha usato) e' questo:

Levate n^2 nella ricorsione...

Buona fortuna...

piever ha scritto:...che nessuno ha parte davide ha usato

piu passa e piu mi convinco che diventerai il genio del secolo

piever ha scritto:..Levate n^2 nella ricorsione...

..appunto..

EvaristeG ha scritto:0 . 3
1 . 2*3-0^2=6
2 . 2*6-1^2=11
3 . 2*11-2^2=18
4 . 2*18-3^2=27
5 . 2*27-4^2=38
6 . 2*38-5^2=51
7 . 2*51-6^2=66
8 . 2*66-7^2=83
9 . 2*83-8^2=102
e andando avanti così si arriva a
24 . 2*578-23^2=627
che non mi sembra negativo.
giang92, rifai i conti

anche a me viene con 3 però siccome n cresce in modo quadratico forse prendendo numeri più alti ancora potrebbe diventare minore di zero
bisognerebbe dimostrarlo e ricavarne una regola generale