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Essendo scaduti i termini per la spedizione degli esercizi per la telematica dell'Enriques posto qui il combinatorio (cioè il 4)

Si consideri una scacchiera quadrata di lato 2n+1, consistente quindi di $ {(2n+1)}^2 $ caselle, inizialmente tutte di colore nero. Qual è il numero massimo di caselle che possono essere colorate di bianco , senza che vi sia nessuna “L” (come quella della figura sottostante o delle tre configurazioni ottenute ruotando la figura di multipli di 90 gradi) costituita da tre caselle bianche?

Non è difficile ma neanche banale

Buon $ lavoro^3 $

La nostra soluzione è abbastanza brutta, prima di postarla aspetto qualche giorno per vedere se c'è di meglio

Il numero di caselle totali in ogni caso viene quindi un quadrato perfetto dispari, provo ad azzardare una risposta:

$ (2n + 1)(n + 1) $?

Anch'io aspetto allora
Non credo che la nostra sia meglio di quella dei carraresi

giove ha scritto:Anch'io aspetto allora
Non credo che la nostra sia meglio di quella dei carraresi

dei carraresi? di pigkappa vuoi dire, visto che ha praticamente fatto tutto lui

$ \textrf{squadra\ di\ carrara}\to \textrf{Pigkappa} $

Gatto ha scritto:Il numero di caselle totali in ogni caso viene quindi un quadrato perfetto dispari, provo ad azzardare una risposta:

$ (2n + 1)(n + 1) $?

si la risposta è quella, il problema è dimostrarlo formalmente

Io i giochi non li ho fatti... questa è quella che mi è venuta in mente, date pure anche giudizi estetici, a questo punto

EDIT: Mi fa giustamente notare jordan che questo post non si capisce granchè: voglio dimostrare quello che già qualcun altro ha scritto, che il valore richiesto è $ (n+1)(2n+1) $

Osservazione: preso un qualunque quadrato 2x2, questo contiene al massimo 2 caselle bianche (per ovvi motivi)
LEMMA: considero una grossa L, di quelle che si ottengono levando da un quadrato (2n+1)x(2n+1) un quadrato (2n-1)x(2n-1). Questa non contiene più di 4n+1 caselle bianche.
Dividiamola infatti in quadratoni 2x2 come spero si capisca dalla figura che allego.
Resta scoperta una sola casella, e quanti sono i quadratoni? Sono $ \frac{2(2n+1)-2}{4} \cdot 2 $, ed ognuno contiene al massimo 2 caselle bianche per quanto detto sopra. Perciò le caselle bianche sono al massimo 1 (scoperta) + 2 per numero dei quadratoni, ossia $ 1+2\frac{2(2n+1)-2}{4} \cdot 2=4n+1 $.

Ok, forti del nostro grande lemma ( ) andiamo avanti.
Per un quadrato 1x1 la relazione già scritta da altri (vedi EDIT) è abbastanza vera; per quadrati più grandi, taglio un quadrato (2n-1)x(2n-1) dall'angolo in alto a sinistra

Dunque, per il lemma e per induzione, il quadrato $ (2n+1) \times (2n+1) $ contiene al massimo $ (2(n-1)+1)(n-1+1) $ caselle bianche nel quadrato $ (2n-1) \times (2n-1) $ in alto a sinistra, e 4n+1 altre caselle bianche nella grossa L a sud-est. Ma allora in totale le caselle bianche in tutto il quadrato non sono più di $ (2n-1)(n)+4n+1=2n^2+3n+1=(2n+1)(n+1) $, c.v.d.

Il fatto che questo numero di caselle si possa effettivamente colorare rispettando le condizioni imposte è immediato: o coloro di bianco una riga si e una riga no, o, se preferite, a scacchiera, con più caselle bianche che nere.

Ciao!

darkcrystal ha scritto:..., o, se preferite, a scacchiera, con più caselle bianche che nere.

bella dimostr, ma la conclusione?

¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto:

Gatto ha scritto:Il numero di caselle totali in ogni caso viene quindi un quadrato perfetto dispari, provo ad azzardare una risposta:

$ (2n + 1)(n + 1) $?

si la risposta è quella, il problema è dimostrarlo formalmente

Ecco, si, il mio scopo era "dimostrarlo formalmente"... per quello ad un certo punto ho scritto "la relazione già scritta da altri", intendevo quella che ho quotato

no, dai si capiva anche prima

quello che volevo dirti è fai attenzione a quello che ho riportato nel riquadro bianco!!!