OliForum Matematico

Provare che il polinomio

$ P(x)= x^{2n}-2x^{2n-1}+3x^{2n-2}-...-2nx+2n+1 $

non ha radici reali.

E' facilino, quindi se lo risolvete in un secondo non mettete la soluzione e lasciate pensare la gente

della serie: jordan, non è per te

va bene bella non rispondo..
xo mi permetto di aggiugere una seconda tesi ( piu facile )

$ P(x)=4(n^3-n)x^{2n+1} -3(n^2-n)x^n + 2x^2 -1 $ non ha radici intere, per ogni n intero >1.

aggiungo che per rispondere al mio basta una sola parola

Ci starebbe bene anche qualcosa di analitico, vero?
Vabbè, ci provo, ma faccio analisi da 3 settimane circa e quindi questo è solo un esperimento..
E' sufficente dire che
per $ x\longrightarrow -\infty $e per$ x\longrightarrow +\infty $
$ P(x)\longrightarrow + \infty $ ,
allora per il teorema di permanenza del segno
P(x) >0 definitivamente, quindi non "attraversa " l'asse x e non si annulla mai???
Però mi preoccupa un po' il definitivamente..

rapportaureo ha scritto:Ci starebbe bene anche qualcosa di analitico, vero?
Vabbè, ci provo, ma faccio analisi da 3 settimane circa e quindi questo è solo un esperimento..
E' sufficente dire che
per $ x\longrightarrow -\infty $e per$ x\longrightarrow +\infty $
$ P(x)\longrightarrow + \infty $ ,
allora per il teorema di permanenza del segno
P(x) >0 definitivamente, quindi non "attraversa " l'asse x e non si annulla mai???
Però mi preoccupa un po' il definitivamente..

No questo non è vero. Prendi ad esempio $ f(x)=x^2-1 $ è vero che per $ x\longrightarrow -\infty $e per$ x\longrightarrow +\infty $
$ f(x)\longrightarrow + \infty $, ma questo polinomio ha ben 2 radici reali

vero...forse è meglio che cerchi una soluzione più algebrica , prima di lanciare altre bombe atomiche del genere...

Siano$ x_1,x_2...,x_2n $le radici di P(x)

Per Waring $ \sum x_i =2 $ e $ \sum x_ix_j =3 $

$ \sum x_i^2=4-2\cdot 3=-2 $ .Quindi queste radici non possono essere reali.

Posso dire che non mi convince la soluzione di rapportoaureo? Secondo me quello che ha scritto dimostra solo che non possono essere TUTTE reali, ma non potrebbero essere alcune reali ed altre complesse?

Per la bomba dell'infinito : chi ti ha detto che debban esser grandi?

EUCLA ha scritto:Per la bomba dell'infinito : chi ti ha detto che debban esser grandi?

nessuno, infatti era una gran stupidata..

darkcrystal ha scritto:Posso dire che non mi convince la soluzione di rapportoaureo? Secondo me quello che ha scritto dimostra solo che non possono essere TUTTE reali, ma non potrebbero essere alcune reali ed altre complesse?

è vero...non ho dimostrato un bel niente...