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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lordgauss
Scusate il penosissimo titolo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>Ecco due problemi che riguardano progressioni aritmentiche e geometriche.
<BR>1)Dimostrare che nella progressione aritmetica
<BR>3, 7, 11,..., 4n+3 ci sono infiniti numeri primi.
<BR>
<BR>2)Data una generica progressione geometrica a, aq, aq²,..., aq^n dimostrare che Gn=a+aq+aq²...+aq^n=
<BR>a(1-q^(n+1))/(1-q).
<BR>
<BR>Ciao
<BR>
<BR>[addsig]<BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: lordgauss on 2001-06-22 10:48 ]</font>
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Gauss
Per ora risolvo il due che è facile facile.
<BR>Sia W=a+aq+aq^2+...aq^n=a(1+q+...+q^n)
<BR>Per la proprietà telescopica si ha che il prodotto (1+q+...+q^n)(1-q) è uguale a 1-q^(n+1) (tutti termini intermedi si vano infatti ad annullare e rimangono solo gli estremi, come quando uno prende un telescopio e lo chiude).
<BR>Si ha quindi che (1-q)*W=a(1-q^(n+1)), quindi W=a*(1-q^(n+1))/(1-q).
<BR>
<BR>Dopo provo anche la seconda, ciaps
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lordgauss
Forte la proprietà telescopica! Ma l\'hai inventato tu questo termine? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>Ciao [addsig]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da N3o
Non sono sicuro di questa dimostrazione, cmq la posto lo stesso.
<BR>
<BR>Ragioniamo per assurdo: supponiamo che i primi appartenenti alla successione data siano in numero finito. Sia p il più grande di essi e P il prodotto di *tutti* i primi minori o uguali a p (non solo quelli della successione).
<BR>Osserviamo che 2P/3 + 3 appartiene alla successione, ed è primo, infatti:
<BR>
<BR>- e\' dispari
<BR>- non è divisibile per 3
<BR>- diviso per un primo maggiore di 3 dà resto 3
<BR>
<BR>Ma 2P/3 + 3 è maggiore di p, il che è una contraddizione, quindi la tesi è dimostrata.
<BR>
<BR>Fatemi sapere se secondo voi va tutto bene. Ciao!<BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: N3o on 2001-06-22 20:44 ]</font>
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da valentino
Oppure, se fossero finiti, ne faccio il prodotto, e
<BR>sommo 2 o 4 in modo da ottenere ancora un
<BR>numero della forma 4n+3.
<BR>A questo punto, chiamato N questo numero,
<BR>o N e\' primo, o e\' divisibile
<BR>per qualche primo della forma 4n+3, poiche\'
<BR>il prodotto di primi della forma 4n+1 e\' ancora un numero della forma 4n+1, e quindi se N fosse divisibile solo per primi 4n+1 sarebbe pure lui 4n+1.
<BR>Ma se lo divido per ogni numero della forma 4n+3 ottengo resto 2 o 4, quindi e\' primo.
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da N3o
E\' giusta la tua, valentino, la mia è sbagliata.
<BR>
<BR>Ciao!
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lordgauss
N3o, perchè la tua dimostrazione è sbagliata?[addsig]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lordgauss
N3o, perchè la tua dimostrazione è sbagliata?
<BR>Ciao[addsig]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da N3o
Perché 2P/3 + 3 potrebbe essere divisibile per un primo maggiore di p non incluso nella successione.
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lordgauss
N3o, non sono d\'accordo. Al massimo puoi dire che la tua dimostrazione era incompleta. Infatti se 2P/3+3 non è primo, deve essere necessariamente essere divisibile per un nuovo primo del tipo 4r+3 (v. valentino).
<BR>Ciao[addsig]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da N3o
Hai ragione
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da valentino
Invece dimostrare che esistono infiniti primi della forma 4n+1 da quel che ne so e\' molto piu\' difficile! L\'unico modo che conosco sfrutta un teorema di teoria dei numeri non facile da dimostrare.
<BR>
<BR>Ancora piu\' difficile e\' dimostrare che esistono infiniti primi in ogni successione della forma an+b con a e b coprimi, una dimostrazione si trova sullo Shanks \"Solved and unsolved problems in number theory\", non mi ricordo se fosse completa o meno...
<BR>
<BR>