OliForum Matematico

In a basketball tournement any two of the $ n $ teams $ S_1,S_2,\dots,S_n $ play one match (no draws). Denote by $ v_i $ and $ p_i $ the number of victories and defeats of team $ S_i $ ( $ i=1,2,\dots ,n $), respectively. Prove that

$ v_1^2+v_2^2+\dots+v_n^2=p_1^2+p_2^2+\dots+p_n^2 $.

Ad ogni vittoria di una squadra $ j $ corrisponde una sconfitta di una squadra $ i $ quindi vale: $ \displaysytle \sum v_i =\sum p_i $
Le posso ordinare in questo modo:
$ (v_1-p_1) + (v_2-p_2)+...+(v_n-p_n)=0 $ ma a noi fa più comodo così:

$ \displaystyle \frac{n(n-1)}{2}[(v_1-p_1) + (v_2-p_2)+...+(v_n-p_n)]=0 $

sapendo che le partite giocate da ogni squadra sono proprio $ \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} $ $ \rightarrow v_i+p_i= \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} $

Quindi: $ (v_1+p_1)(v_1-p_1)+(v_2+p_2)(v_2-p_2)+...+(v_n+p_n)(v_n-p_n)=0 $

ed habemus tesi!

EUCLA ha scritto:Ad ogni vittoria di una squadra $ j $ corrisponde una sconfitta di una squadra $ i $ quindi vale: $ \displaysytle \sum v_i =\sum p_i $
Le posso ordinare in questo modo:
$ (v_1-p_1) + (v_2+p_2)+...+(v_n+p_n)=0 $ ma a noi fa più comodo così:

$ \displaystyle \frac{n(n-1)}{2}[(v_1-p_1) + (v_2+p_2)+...+(v_n+p_n)]=0 $

sapendo che le partite giocate da ogni squadra sono proprio $ \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} $ $ \rightarrow v_i+p_i= \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} $

Quindi: $ (v_1+p_1)(v_1-p_1)+(v_2+p_2)(v_2-p_2)+...+(v_n+p_n)(v_n-p_n)=0 $

ed habemus tesi!

Ma $ \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} $ non sono le partite totali giocate da tutte le squadre?

Ogni squadra ne gioca $ (n-1) $

Quindi la formula esatta da sfruttare dovrebbe essere:

$ (n-1)[(v_1-p_1) + (v_2-p_2)+...+(v_n-p_n)]=0 $

Che poi diventa quindi come dicevi tu: $ (v_1+p_1)(v_1-p_1)+(v_2+p_2)(v_2-p_2)+...+(v_n+p_n)(v_n-p_n)=0 $

O sbaglio?

(in ogni caso la sostanza non cambia )

ehm

qualche errore ci doveva pur essere