OliForum Matematico

Dimostrare che

$ \displaystyle{ S_{\lambda_1,\dots,\lambda_k}(1,x,x^2,\dots,x^{k-1})=x^m\prod_{1\leq i<j\leq k}\frac{x^{\lambda_i-\lambda_j+j-i}-1}{x^{j-i}-1} } $
per un opportuno intero positivo $ m $.

Dedurne

$ \displaystyle{ S_{\lambda_1,\dots,\lambda_k}(1,1,1,\dots,1)=\prod_{1\leq i<j\leq k}\frac{\lambda_i-\lambda_j+j-i}{j-i} } $

(in particolare questo dimostra che, presi comunque degli interi positivi $ \lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq \lambda_k\geq0 $,

$ \displaystyle{\prod_{1\leq i<j\leq k}\frac{\lambda_i-\lambda_j+j-i}{j-i}} $ e' un intero)

(il polinomio $ S_{\lamda_1,\dots,\lambda_k} $ e' definito in Schur 1 )

corretto un errore nel testo della prima parte di questo post

Ci definisci $ S_{\lambda_1,\dotsc,\lambda_k} $ per favore?

Ehm, credo li abbia definiti nel thread Schur 1...

Ehm, sarebbe bello se ci fosse un link all'altro thread oppure il copiaeincolla della definizione.
Sarebbe utile se i thread fossero "autoconsistenti", in modo che qualcuno che ci capiti per caso tra k mesi passando dalla pagina di ricerca non sia troppo spaesato.
Comunque il link a Schur 1 ce lo metto io, così siamo tutti contenti.

scusate la "predica", ciao

Ok, dovrei esserci:

La matrice il cui determinante e' al piano di sopra nella frazione che determina il polinomio di schur e' una matrice di Vandermonde "ruotata di 90 gradi" (difficilmente si potrebbe essere piu' tecnici di cosi ) con n-upla di partenza $ x_i=x^{k-i+\lambda _i} $, quindi posso usare la formula di Vandermonde (solo che per far tornare i segni devo fare $ \displaystyle\prod_{1\le i<j\le k} x_j-x_i $) che mi da' il determinante cercato (quell'm non dovrebbe essere difficile da calcolare, ma in fondo ce ne frega poco di quanto valga...).

La prima parte del post implica la seconda in quanto, come giustamente diceva wolverine nel post in algebra che ha causato tutto questo sfacelo, $ \displaystyle\lim_{x\to 1} \frac{x^a-1}{x^b-1}=\frac{a}{b} $ per la regola di De L'Hopital.

Ouf.


Edit: quasi dimenticavo, complimenti a wolverine per la soluzione di questo problema, decisamente elegante...

complimenti a piever

(e poi, se siamo finiti a parlare dei polinomi di Schur e' per colpa di quel problema di algebra che ha postato lui qualche giorno fa)

Ne approfitto per ricordare che, se $ a $ e $ b $ sono interi positivi, come in questo caso, allora si puo' calcolare

$ \displaystyle{\lim_{x\to 1}\frac{x^a-1}{x^b-1}} $

anche "con le mani":

$ \displaystyle{\frac{x^a-1}{x^b-1}=\frac{1+x+\cdots+x^{a-1}}{1+x+\cdots+x^{b-1}}} $