OliForum Matematico

il teorema di Gauss dice che il flusso del campo elettrico uscente da una superficie ideale chiusa contenente cariche è uguale a:
<BR>
<BR>F(E)=sum[q(i)]/E0Er
<BR>
<BR>q(i)=le varie cariche
<BR>E0,Er=costanti dielettriche
<BR>
<BR>da qui ovviamente posso ricavarmi il valore del campo elettrico...
<BR>
<BR>ma se devo calcolare il campo elettrico all\'INTERNO di un\'area in cui si trova una distribuzione di carica come faccio?

Wow, credo di averci capito si e no una sillaba. Però suonano bene tutti quei campi elettrici e così via, si suonano proprio bene.

Boh, qualche vaghissimo ricordo mi dice che, se si tratta di un campo elettrostatico, cioè se lasci che le cariche si distribuiscano sulla superficie e si portino in equilibrio, allora il campo elettrico al suo interno è nullo in tutti i punti.
<BR>La dimostrazione richiede l\'uso di integrali e quindi non cerco di scriverla, ma l\'idea è molto intuitiva. Prova a dimostrarlo prima per una sfera, e poi generalizza a superfici qualunque (chiuse...). Basta considerare un cono a 2 falde con vertice nel punto scelto, prendere le sue intersezioni con la superficie (con una sfera, riesci a fare in modo che queste intersezioni siano calotte sferiche), calcolare i 2 campi elettrici che queste superfici generano nel punto, ed osservare che si annullano a vicenda. Da qui, spostare i coni e ripetere lo stesso ragionamento fino a ricoprire tutta la superficie. Nota che ho supposto la convessità del solido, ma tutto funziona benissimo anche per roba concava, e la dimostrazione è del tutto uguale.
<BR>In pratica, tutto funziona perchè il campo elettrico, calcolato con la legge di Coulomb, diminuisce col quadrato della distanza, mentre l\'area di base di un cono aumenta col quadrato dell\'altezza. Ora, dato che in ognuna delle 2 superfici puoi teoricamente considerare la carica come concentrata nel centro ed avente un\'intensità proporzionale all\'area della superficie, il tutto si riduce ad un paio di passaggi algebrici (con le opportune approssimazioni, che però si possono evitare grazie ad un bell\'integralino sulla superficie).
<BR>Tra l\'altro, su questo fatto si basano le cosiddette gabbie di Faraday, e numerosi altri trucchetti di elettrostatica, bla bla bla.
<BR>
<BR>Ah, nota che, se la terra fosse una sfera cava, all\'esterno sentiremmo la gravità, ma all\'interno questa sarebbe nulla! Dimostrazione identica, visto che anche la forza di gravità diminuisce col quadrato della distanza![addsig]

non mi sono spiegato bene... pensate ad una sorta di nuvola elettronica... non si tratta di un corpo le cui cariche vanno (ovviamente) in superficie, ma di una regione di spazio + o meno definita e limitata in cui vi è una distribuzione omogenea di cariche

Una nuvola elettronica è come una sfera cava
<BR>(piuttosto, per dimostrare che il campo elettrico è nulllo all\'interno dovrebbe essere sufficiente la considerazione che se non lo fosse le cariche all\'interno si sposterebbero e non saremmo in equilibrio. O no?)
<BR>

Ho capito.
<BR>Allora, è la stessa cosa: considera una sfera per semplicità, poi estendi a solidi qualunque. Vuoi sapere il campo elettrico in un punto a distanza D dal centro. Quindi, è come se avessi una sfera interna di raggio D piena di cariche ed un\'altra cava esterna. Per il teorema di Gauss, il flusso è determinato solo dalle cariche interne, che ti puoi calcolare sapendo il volume e la densità di carica. Quelle esterne non influiscono sul flusso, per quanto dimostrato prima. Noto il flusso, ti calcoli il campo elettrico (stavolta, usando la definizione di flusso), sfruttando le proprietà di simmetria della sfera, e cioè che il campo elettrico è sempre radiale e costante sulla superficie, e tutto il resto. Stop.

Ecco, ho decifrato dei vecchi appunti che mi sono scritto sull\'Amaldi, taaaaanto tempo fa (2 anni...). Hehe, meno male che ero troppo sfaticato per usare un quaderno, e scrivevo tutto sul libro <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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<BR>Se prendi una sfera di raggio R con una carica Q uniformemente distribuita, ed un punto a diranza D dal centro, allora il campo elettrico nel punto ha intensità:
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<BR>Q/(4 Pi Epsilon D^2), se D >= R;
<BR>
<BR>QD/(4 Pi Epsilon R^3), se D < R.
<BR>
<BR>Non le ho ricontrollate ma sembrano verosimili, e comunque mi fido ciecamente delle mie facoltà mentali di 2 anni fa. Di quelle odierne, un po\' meno...