OliForum Matematico

sia $ f(i)=x^i + \frac {1}{x^i} $ per ogni $ i \in N $ .

sapendo che $ f(1)=3 $ trovare una formula chiusa per $ f(i) $


se avete letto gli altri post è molto facile, quindi si preferiscono risposte "giovani"

ehm...ci provo...

risolvendo $ \displaystyle x + \frac{1}{x} = 3 $ ottengo $ \displaystyle x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} = \Phi ^{\pm 2} $ dove $ \displaystyle \Phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2} $

quindi $ \displaystyle f(i) = \Phi ^{2i} + \Phi ^{-2i} = F_{2n} \cdot \Phi + F_{2n-1} + F_{-2n} \cdot \Phi^{-1} + F_{-2n+1} = $$ \displaystyle 2F_{2n-1} + F_{2n} = F_{2n+1} + F_{2n-1} $


dove $ F_j $ e il numero j-esimo della successione di fibonacci (quella con anche i negativi)

bravo gabriel

allora sono costretto a rilanciare..
sia $ f(1)=\alpha > 2 $, trovare una formula chiusa per $ f(i) $

scusate l'ignoranza, e forse va in Glossario... che cos'è una formula chiusa?

Ti do una risposta forse imprecisa, ma che spero renda l'idea.
Una formula chiusa è un'espressione che ti permette di calcolare qualcosa "direttamente", ad esempio non per ricorsione (non mi vengono in mente altri esempi particolari).
Se pensi ai numeri di Fibonacci, dalla definizione sei in grado di calcolare l'n-esimo numero, ma per arrivarci devi calcolare prima tutti quelli che lo precedono nella successione; se invece usi la formula di Binet (quella con le radici di 5 e le phi, per intenderci), metti al posto di n ciò che vuoi e la formula di dà l'n-esimo numero di Fibonacci...

Ho trovato questa definizione, che forse però, essendo fuori dal suo contesto, può risultare un po' oscura: "Un enunciato – detto altrimenti formula chiusa – è una
formula senza occorrenze libere di variabili".

Ciao!

Chiarissimo! Grazie!