OliForum Matematico

Dimostrare che, preso n naturale >1, e a naturale >0, si ha

$ \displaystyle 1+2^a+...+(n-1)^a<\frac{n^{a+1}}{a+1}<1+2^a+...+n^a $

allora, secondo me si può risolvere cn il metodo induttivo, ma in pratica non capisco una sega, sono qui per imparare, quindi vi espongo solo il mio metodo di ragionamento, per capire se sn recuperabile almeno un pò.
Analizzo la prima parte cioè $ 1+2^a+\cdots+(n-1)^a < \frac{n^{a+1}}{a+1} $ e la pongo vera per $ n $ quindi procedo con $ n+1 $ per comodità chiamo il primo membro della disugualianza precedente $ A $ (lo so, sono pigro) quindi avrò $ A+ n^a<\frac{(n+1)^{a+1}}{a+1} $ sviluppando il binomio$ (n+1)^{a+1} $ ottengo $ A+n^a < \frac{n^{a+1}+ a*n^a+ \binom{a+1}{2}n^{a-1}+\cdots+1}{a+1} $ quindi $ A+n^a < \frac{n^{a+1}}{a+1}+ \frac{a*n^a+ \binom{a+1}{2}n^{a-1}+\cdots+1}{a+1} $ di certo $ A< \frac{n^{a+1}}{a+1} $ quindi bisogna vedere se $ n^a <\frac{a*n^a+ \binom{a+1}{2}n^{a-1}+\cdots+1}{a+1} $
e così via...

A parte che c'è un errore nello sviluppo del binomio, potresti anche concludere anziché scrivere "e così via". L'induzione poi, ha anche un caso base che non andrebbe omesso, soprattutto perché dopo il "non ci capisco una sega" non possiamo sapere se lo fai apposta o se te ne stai dimenticando..

scusami, il non capisco una sega, è riferito a me stesso, io nn avevo la minima intenzione di risolvere l'esercizio ma volevo sapere da voi mammasantissima del forum se l'idea di partenza era buona poi è logico che sottointendevo che considero la proposizione vera per n

scusami ancora

Purtroppo il titolo del thread dice un po' tutto...

Nonno Bassotto ha scritto:Purtroppo il titolo del thread dice un po' tutto...

ehm.. perché? è messo in algebra per qualcosa... sì, capisco che avrei dovuto scrivere "voglio la soluzione olimpica, quella coi cannoni la conosciamo tutti; prego inoltre gli esperti di astenersi etc..." ma ormai lo davo per scontato

Nonno Bassotto ha scritto: Purtroppo il titolo del thread dice un po' tutto...

Potrei aggiungere "serie armonica generalizzata"?

@donchisciotte.. hint: e se alla tesi sottrai l'ipotesi induttiva?