OliForum Matematico

Siano $ \displaystyle x_{1},x_{2},...\:,x_{n} $ numeri reali non negativi tali che:
$ \displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\leq\frac{1}{2} $
Dimostrare che:
$ \displaystyle (1-x_{1})(1-x_{2})\cdot\cdot\cdot(1-x_{n})\geq\frac{1}{2} $

Ethereal ha scritto:Siano $ \displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n} $ numeri reali non negativi tali che:
$ \displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\leq\frac{1}_{2} $
Dimostrare che:
$ \displaystyle (1-x_{1})(1-x_{n})\cdot\cdot\cdot(1-x_{n})\geq\frac{1}_{2} $

spero che quel n in realtà è un 2...

il caso dell'uguaglianza si ha solo quando un $ $x_i = {{1}\over{2}} $
infatti nel primo caso avremo un $ $\frac{1}{2} $ e tutti gli altri uguali a 0
e nel secondo caso un $ $\frac{1}{2} $ e tutti gli altri uguali a 1

altrimenti gli $ $x_i $ sono tutti minori$ $\frac{1}{2} $ ma allora tutti i $ $(1-x_i) $ sono maggiori di $ $\frac{1}{2} $, di conseguenza
$ \displaystyle (1-x_{1})(1-x_{2})\cdot\cdot\cdot(1-x_{n})>\frac{1}_{2} $

già visto da qualche parte questo problema...

Oltretutto se aggiungiamo oltre a non negativi, diversi da zero, quindi positivi diventa
$ \displaystyle \ge \frac{1}{2^n} $

Mi sembra che nonostante $ \frac{3}{4} > \frac{1}{2} $ si abbia $ \frac{3}{4} \frac{3}{4} \frac{3}{4}= \frac{27}{64} < \frac{1}{2} $, quindi la tua soluzione non mi torna molto...

L'osservazione però che l'uguaglianza si ha solo quando uno degli $ x_i $ è un mezzo è importante...

Ciao!

EDIT: peraltro l'osservazione di EUCLA mi suggerisce che forse sono io che non ho capito nulla, visto che non capisco nè la tua soluzione nè il suo successivo commento... chiedo aiuto e spiegazioni!

darkcrystal ha scritto:Mi sembra che nonostante $ \frac{3}{4} > \frac{1}{2} $ si abbia $ \frac{3}{4} \frac{3}{4} \frac{3}{4}= \frac{27}{64} < \frac{1}{2} $, quindi la tua soluzione non mi torna molto...

L'osservazione però che l'uguaglianza si ha solo quando uno degli $ x_i $ è un mezzo è importante...

Ciao!

si infatti lo stavo pensando anch'io...

mod_2 ha scritto:altrimenti gli $ $x_i $ sono tutti minori$ $\frac{1}{2} $ ma allora tutti i $ $(1-x_i) $ sono maggiori di $ $\frac{1}{2} $, di conseguenza
$ \displaystyle (1-x_{1})(1-x_{2})\cdot\cdot\cdot(1-x_{n})>\frac{1}_{2} $

Se $ \displaystyle n>1 $ operando $ \displaystyle \forall i $ la sostituzione $ \displaystyle (1-x_{i})\geq{\frac{1}_{2}} $ otterrei:
$ \displaystyle (1-x_{1})(1-x_{2})\cdot\cdot\cdot(1-x_{n})\geq{\frac{1}_{2}} \cdot{\frac{1}_{2}}\cdot\cdot\cdot{\frac{1}_{2}}\geq{\frac{1}_{2^n}}<\frac{1}_{2} $
che non sembra portare a nulla...

mod_2 ha scritto:già visto da qualche parte questo problema...

EUCLA ha scritto:Oltretutto se aggiungiamo oltre a non negativi, diversi da zero, quindi positivi diventa
$ \displaystyle \ge \frac{1}{2^n} $

orbola che cavolata! (completamente interpretato male + errori alquanto grossolani!)

@ darkcrystal: mai fidarsi di quello che scrivo

sviluppando si ottiene $ 1-(x_{1}+...+x_{n})+ $roba$ \geq 0.5+ $roba...
dove roba per n dispari è $ x_{1}x_{2}(1-(x_{3}+...+x_{n}))+...+x_{i}x_{j} $$ (1-(x_{1}+...+x_{n}-x_{i}-x_{j}))+ $$ +x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}(...)+....... $
che è somma di termini che sono prodotto di termini maggiori uguali a 0 e alcuni addirittura maggiori o uguali a 0.5 quindi il tutto è maggiore o uguale a 0. Da cui la tesi.
per n pari si deve togliere un certo x_{1}...x_{n} ma è innocuo e basta inglobarlo in
$ x_{1}x_{2}(1-(x_{3}+...+x{n})-x_{3}...x_{n})) $
e basta dimostrare che $ x_{3}...x{n} \leq 0.5 $ che è vera dato che ognuno dei termini è minore o uguale di 0.5

Hint:


Sia $ x_1,\dots,x_n $ tale da realizzare il minimo del prodotto $ (1-x_1)\cdots(1-x_n) $. E' possibile che si abbia $ x_1 $=1/3, $ x_2 $=1/8? Perche'?


(pian piano sto imparando ad intervenire senza rovinare gli esercizi... perdonate una certa grossolanita' negli interventi dei primi giorni)