OliForum Matematico

come si potrebbe fare per provare che, $ \forall x, \ 0<x<\frac{\pi}{2} $,
risulta (2) , senza usare derivate o integrali (e senza conoscere l'area o la lunghezza di un settore circolare, che si ricava usando gli integrali) (e, se possibile, senza usare le serie)?

(2) $ tanx > x $

L'area o la lunghezza di un settore circolare si calcola usando integrali??

Ma anche no! Trovare l'area o la lunghezza di un settore circolare è tanto elementare quanto definire area e lunghezza...

Beh, edriv, tecnicamente ... l'area e la lunghezza del cerchio si "definiscono" essere quelle ... per dimostrare che sono quelle a partire dall'area e la lunghezza di cose rettilinee (e da un'ipotesi ragionevole) ci vuole un po' di lavorio, ma questa è roba da mne (anzi, se cerchi mi sa che l'ho scritta da qlc parte).

-qualcosa è detto qui: http://olimpiadi.sns.it/oliForum/viewto ... ht=cerchio, e mi sembra di capire che la conclusione sia che è necessario utilizzare la misura di Lebesgue; ma devo dedurne anche che non c'è un modo elementare per dimostrare $ C=2 \pi r $ ?

Ehm, ripeto, è roba da mne. Se vuoi, risolleva quel thread e chiedi lì qualcosa, ti risponderò.
Qui, limitiamoci alla tangente.

hai ragione, è che per la disug sulla tangente era utile sapere l'area o la lunghezza del settore circolare, ed è per quello che ho tirato fuori la cosa.

E' la disuguaglianza che ti serve per dimostrare il limite di sin(x)/x
E' un po' lunga e ti scrivo solo le linee generali ma dovresti trovarla su un libro di analisi qualsiasi (io l'ho letta sul prodi)
come vedi dal disegno tracci delle semirette che intersecano l'arco AC e definiscono una poligonale ad esso inscritta e dividono il segmento AB in segmenti più piccoli.
chiamiamo P0, P1 ecc. le intersezioni delle rette con la circonferenza e Q0, q1 .. quelle con il segmento.
L'unico passo "geometrico consiste nel mostrare che il genetico segmento PkPk-1 è minore di QkQk-1

A questo punto sommo sull'indice k da 1 a n e ottengo che la lunghezza della poligonale inscritta è minore di AB.

AB è quindi una limitazione superiore alla lunghezza delle poligonali inscritte

La lunghezza d'arco BC è definita proprio come la minima delle limitazioni superiori alla lunghezza di tali poligonali.

quindi ArcoBC<=AB

Si dimostra facilmente che la disuguaglianza è vera in senso stretto dividendo con una retta passante per il centro in due l'arco AC e riapplicando la disuguaglianza precedentemente dimostrata.

ovviamente se la circonferenza è quella unitaria AC=x AB =tan x


Un fisico che si ricorda le dimostrazioni di matematica WoW!

per dimostrare geometricamente che l'arco AC è minore di AB basta condurre l'altra tangente da B alla crf con punto di tangenza in D. ora consideriamo il poligono formato da AB, BD e l'arco DA, esso è circoscritto alla crf e quindi si ha che

$ $ A_P > A_C \ \Longleftrightarrow \ p > \pi r \ \Longleftrightarrow \ \overline{AB} > AC $