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Allora...

Si consideri l'espressione

$ \displaystyle 4^x+4^y+4^z $

dove $ \displaystyle x,y,z $ sono interi non negativi

1- Provare che la quantità scritta sopra è un qudrato perfetto per infinite terne di interi
non negativi $ \displaystyle (x,y,z) $

2 - Determinare tutte le terne di interi di non negativi $ \displaystyle(x,y,z) $ tali che quella quantità sopra scritta sia un quadrato perfetto

Io scrivo la mia soluzione, ma prima di leggerla se qualcuno vuole può provare a farlo indipendentemente

Soluzione (almeno secondo me)

punto 1
Esistono infinite terne di interi non negativi per cui
$ \displaystyle 4^x+4^y+4^z $
è un quadrato perfetto

quindi

$ \displaystyle 4^x+4^y+4^z = n^2 $
moltiplichiamo per 4 entrambe le parti dell'equazione

$ \displaystyle 4 \cdot 4^x+ 4 \cdot 4^y+ 4 \cdot 4^z = 4 \cdot n^2 $
$ \displaystyle 4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1} = 2^2 \cdot n^2 $
$ \displaystyle 2^2 \cdot n^2 $ è un quadrato perfetto


Pertanto, se per le terne $ \dispaystyle (x,y,z) $ l'espressione è un quadrato perfetto allora lo sono anche le terne $ \dispaystyle (x+1,y+1,z+1) $
E se è valido per quelle terne, ripetendo lo stesso ragionamento è valido anche per le terne successive aggiungendo sempre lo stesso numero a tutti i numeri, all'infinito. Pertanto ci sono infinite terne.

punto 2
Ma quali sono queste terne?
Allora

Discesa infinita...
Ammettiamo che esistano queste terne e riscriviamo l'espressione
$ \displaystyle 4^x+4^y+4^z = n^2 $
è evidente che $ \displaystyle n^2 $ è un multiplo di 4...dato che la parte sinistra dell'equazione porta a un multiplo di 4.
Pertanto se $ \displaystyle 4|n^2 $
senzaltro $ \displaystyle 2|n $ , cioè $ \displaystyle n $ è pari.
allora poniamo $ \displaystyle n=2n_1 $
$ \displaystyle 4^x+4^y+4^z = (2{n_1})^2 $
$ \displaystyle 4^x+4^y+4^z = 4 \cdot {n_1}^2 $
mettiamo in evidenza il 4 sulla parte sinistra dell'equazione
$ \displaystyle 4 \cdot (4^{x-1}+4^{y-1}+4^{z-1}) = 4{n_1}^2 $
dividiamo entrambe le parti per 4
$ \displaystyle 4^{x-1}+4^{y-1}+4^{z-1} = {n_1}^2 $
pertanto otteniamo un qudrato perfetto anche con le terne $ \displaystyle (x-1, y-1, z-1) $
E così via possiamo continuare con lo stesso metodo sottraendo sempre 1.
Ma poichè stiamo parlando di interi positivi, bè questo procedimento non può andare all'infinito, pertanto è assurdo e pertanto non esistono terne positive e intere per cui è verificata l'espressione iniziale.

Quindi abbiamo dimostrato che se tali terne esistessero sarebbero infinite, ma che in realtà non esistono...

E' giusto o ho sparato solo cavolate?
Qualche altra soluzione?

e.g. $ 4^0+4^1+4^1 $

da qualche sns

E che mi dici delle terne (0,1,1) e cicliche?!

Insomma, la discesa infinita dovrebbe essere una buona tecnica per dimostrare la non-esistenza di soluzioni, infatti la tua conclusione sul punto 2 è quella, ma non ti sembra strano che ti facciano dimostrare che ci sono infinite terne che soddisfano e poi si dimostri che non ce n'è nessuna?! Le cose sono due righe incompatibili!
Altra cosa sarebbe stato dire "Dimostrare che se ce n'è una, allora ce ne sono infinite" e poi trovare che quell'una non esiste, ma non è questo il caso!

A parte un po' di parole che sostituirei ("se sono una terna che soddisfa, allora blablabla=n^2", non "sono un quadrato perfetto, quindi blablabla=n^2": così stai assumendo quello che devi provare!), la tua dimostrazione del primo punto mi pare corretta.
Io ti consiglierei di trovare una soluzione piccola al problema (beh, pare che io e jordan te l'abbiamo già procurata!) e tentare di dimostrare che non ce ne sono altre... ma qui sparo, potrebbe non essere affatto la strada giusta!...

Ciao!

Penso che l'errore nella seconda parte sia quello di considerare il primo membro dell'equazione divisibile per 4
Come ha dimostrato jordan, una possibile terna porta a 9 che non lo è

Allora...
Il mio errore è stato quello di prendere i numeri interi non negarivi per i numeri interi poitivi, quindi mi son mangiato lo 0 come possibile membro della terna...
Va bè...detto questo è evidente che seguendo il ragionamento fatto all'inizio è possibile trovare infinite soluzioni a partire da quella di jordan...
Daltronde la mia soluzione non credo sia sbagliata per un semplice motivo...
Si basa sul fatto che si possa sempre dividere per 4 il membro
$ \dispaystyle 4^x+4^y+4^z $
Questo menbro è sempre divisibile per quatro dato che le potenze di quattro sono divisibili per quattro se x,y,z sono interi positivi.
Questo menbro non è divisibile per quattro solo se consideriamo lo 0 che invece di dare una potenza di 4 divisibile per 4 dà 1.
Quindi sono convinto che la soluzione di jordan sia l'unica...
Ovvero...stanno da considerare tutte le terne dove compare una o due volte lo zero...se compare 3 volte non è soluzione...

per Ponnamperuma
Io suppongo che le cose siano vere per dimostrare che sono assurde, quindi prendo quello che devo dimostrare per vero e evidenzio come tale affermazione sia paradossale, credo sia lecito.

Fatemi sapere...

ti ricordo che un intero $ n $ è un quadrato sse $ n\equiv 0 \pmod 4 $ oppure $ n\equiv 0 \pmod 4 $. quindi quanti zeri ci sono per le terne primitive?
adesso ti rimangono due esponenti strettamente positivi. se sono uguali che succede? e se uno è piu grande dell'altro? prova a fattorizzare qualcosa

Assumendo come passo induttivo il punto 1) dimostrato da angus e come passo base quello di jordan, potremmo dire che, per induzione, tutte le terne del tipo $ \displaystyle (n,n,n-1) $(con $ \displaystyle n \geq 1 $) e cicliche sono soluzione.

Non sono per niente certo però di aver indicato così tutte le soluzioni

*edit: come dice appunto Ponnamperuma, bisognerebbe dimostrare che non ce ne sono altre

Sesshoumaru ha scritto:Assumendo come passo induttivo il punto 1) dimostrato da angus e come passo base quello di jordan, potremmo dire che, per induzione, tutte le terne del tipo $ \displaystyle (n,n,n-1) $(con $ \displaystyle n \geq 1 $) e cicliche sono soluzione.

Non sono per niente certo però di aver indicato così tutte le soluzioni

*edit: come dice appunto Ponnamperuma, bisognerebbe dimostrare che non ce ne sono altre

Non sono affatto daccordo...
Non è così...
Non esistono terne intere tra le soluzioni...questo è dimostrato nel mio ragionamento dato che avevo omesso lo 0 tra i membri delle terne...

Le soluzioni vanno cercate nelle terne che contengono uno o due zeri
Ora provo a seguire il consiglio di jordan...

angus89 ha scritto:

Sesshoumaru ha scritto:Assumendo come passo induttivo il punto 1) dimostrato da angus e come passo base quello di jordan, potremmo dire che, per induzione, tutte le terne del tipo $ \displaystyle (n,n,n-1) $(con $ \displaystyle n \geq 1 $) e cicliche sono soluzione.

Non sono per niente certo però di aver indicato così tutte le soluzioni

*edit: come dice appunto Ponnamperuma, bisognerebbe dimostrare che non ce ne sono altre

Non sono affatto daccordo...
Non è così...
Non esistono terne intere tra le soluzioni...questo è dimostrato nel mio ragionamento dato che avevo omesso lo 0 tra i membri delle terne...

Le soluzioni vanno cercate nelle terne che contengono uno o due zeri
Ora provo a seguire il consiglio di jordan...

Però la terna (1,2,2) è soluzione
E pure (2,3,3)

$ 4^{100}+4^{101}+4^{101}={(2^{100} *3)}^2 $

dai, pero prima di rispondere almeno fattelo un caso a mano, ..
e comunque con la strada mia trovi le terne primitive, non tutte (che sono infinite), ma non andiamo a barcamenarci in inutili discorsi filosofici..

allora...
Non riesco a capire dove è sbagliata la mia dimostrazione sugli interi positivi...
Mi sembrava evidente il fatto di aver dimostrato che non esistono soluzioni intere positive...
Il ragionamento mi filava...
Ma cosa c'è di sbagliato...
Cavolo...
Non riesco a capire in quale punto ho sbagliato...

Io credo che il ragionamento fatto da angus torni, solo che è incompleto. Sia z il minore dei tre. Infatti lui dimostra che se $ (x,y,z) $ è soluzione allora lo è anche $ (x-1,y-1.z-1) $. Però quando lui effettua il passo induttivo suppone che $ 4|4^z $ ossia che $ z \ge 1 $. Quindi angus dimostra che una soluzione primitiva è del tipo $ (x,y,0) $. Ora dovrebbe andare avanti...
Come si sviluppa $ 4^x+4^y=n^2-1 $?

P.s:E' una domanda e non so la risposta nè ho voglia di trovarla per ora
P.p.s: Credo che questo problema sia TdN.

Alex89 ha scritto:Io credo che il ragionamento fatto da angus torni, solo che è incompleto. Sia z il minore dei tre. Infatti lui dimostra che se $ (x,y,z) $ è soluzione allora lo è anche $ (x-1,y-1.z-1) $. Però quando lui effettua il passo induttivo suppone che $ 4|4^z $ ossia che $ z \ge 1 $. Quindi angus dimostra che una soluzione primitiva è del tipo $ (x,y,0) $. Ora dovrebbe andare avanti...
Come si sviluppa $ 4^x+4^y=n^2-1 $?

P.s:E' una domanda e non so la risposta nè ho voglia di trovarla per ora
P.p.s: Credo che questo problema sia TdN.

Questo è quello che pensavo anche io...
Ma hai visto che ci sono anche dette terne intere che sono soluzione?
Cavolo sono in crisi...

comunque sono davvero disperato...non riesco a capire per quale motivo la mia dimostrazione sia sbagliata...
Tutti mi avete fornito controesempi...
Ditemi per favore in quale punto è sbagliata...

Continuo il ragionamento
$ 4^x+4^y=n^2-1 $
$ 4^x+4^y=(n-1)(n+1) $
n è dispari allora
$ MCD(n-1,n+1)=MCD(n-1,2)=2 $
$ (n-1)(n+1)=4k(k+1) $
Sia wlog $ x \ge y $
$ 4^{y-1}(4^{x-y}+1)=k(k+1) $

Da cui
$ 4^{y-1}=k $
$ (4^{x-y}+1)=k+1 $

$ 4^{y-1}=4^{x-y} $

$ x-y=y-1 $

$ x=2y-1 $

Per un qualsiasi intero $ m $ la terna $ (m,2m-1,0) $ è soluzione dell'equazione.

Tutte le terne della forma $ (m,2m-1,0) $ sono le terne primitive, le soluzioni sono tutte le terne della forma $ (m+k,2m-1+k,k) $ per m e k interi.