OliForum Matematico

1) Sia ABC un triangolo isoscele con l\'angolo al vertice B=100°. sia D il prolungamento di AB dalla parte di A tale che BD=AC. Dimostrare che DCA=10°.
 
 2) Sia ABC un triangolo. Costruiamo su AB e BC i quadrati CBGF e ABDE. Dimostrare che, detto O il punto di incontro di EC e AF, BO è perpendicolare ad AC.
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Maus il 10-02-2003 14:30 ]

Per ora ecco una piuttosto brutta dimostrazione del n.1
 Essendo che il problema è geometrico e la mia soluzione è brutta ovvio che c\'è di mezzo la trigonometria...comunque si pone BD/sen(40+x)=BC/sen(40-x)...teorema del seno... e poi anche BC=AC/(2*sen(50))
 
 Con un po\' di calcoli si arriva a tg(x)=(2*sen(50)-1)*[1/(2*sen(50)+1)]*tg40
 
 A questo punto si usa la calcolatrice... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> e si trova x=10

wow che formuletta!
 risoluzione brutale direi
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Io mi domando e dico perchè nelle olimpiadi vietano l\'uso delle calcolatrici? la domanda sorge spontanea quando pensi che hai a disposizione strumenti come il sin, cos, tag, Log, ln, ma che a mano sono intrattabili, a parte alcuni casi eccezionali. X esempio il primo problema avevo pensato anch\'io di risolverlo in via trigonometrica, ma x allenarmi in vista del 19 mi son detto \" Via Beppe che brutti pensieri ti soggiungono alla mente, su lascia perdere la bruta trigonometria, ed escogita una elegante dimostrazione euclidea\". Ma allora cosa l\'hanno inventato a fare i vari sin, cos, tag, Log, ln, e la calcolatrice? Onestamente non ci vedo nulla di sbagliato a consentire l\'uso di calcolatrici, e anzi nel III° millennio mi pare piuttosto irrazionale una cosa del genere, quando i poppanti imparano a scrivere prima al computer che a parlare.
 
 Perchè BC=AC/(2*sen(50)) ? [ Questo Messaggio è stato Modificato da: psion_metacreativo il 10-02-2003 18:38 ]

Beh, prima di tutto bisogna dire che senza dubbio i metodi euclidei sono più eleganti.
 Poi utilizzando solamente la trigonometria e i vari metodi avanzati finisci col sapere usare solamente quelli, meccanismi meccanicini che arruginiscono le meningi.
 E poi le calcolatrici sono impedite anche per altri motivi. Ci sono calcolatrici che fanno di tutto.

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-02-10 18:12, psion_metacreativo wrote:
 Io mi domando e dico perchè nelle olimpiadi vietano l\'uso delle calcolatrici?
 
 Perchè BC=AC/(2*sen(50)) ?
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: psion_metacreativo il 10-02-2003 18:38 ]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Non si usano le calcolatrici perchè se no la gente si distrae a disegnare funzioni tipo quella di antimateria o di ale... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 Posto che l\'altezza di un triangolo isoscele è bisettrice dell\'angolo al vertice nonchè mediana relativa alla base, dopo averla tracciata si ha un triangolo rettangolo con, come cateti, mezza base e l\'altezza e con, come ipotenusa, uno dei due lati uguali. Ora la formuletta base della trigonometria dice che il cateto è uguale all\'ipotenusa moltiplicata per il seno dell\'angolo opposto...fatti le debite sostituzioni e vedrai che torna.

Perché sono cose brutte. Per usare le calcolatrici esistono gli ingegneri.
 
 (e anche in questo problema la soluzione di colin essendo fatta con una calcolatrice è approssimata... bisognerebbe con qualche formula di bi o trisezione calcolarsi sin10° ecc. e poi cercare di semplificare l\'orrore che viene fuori da quell\'equazione. Così quell\'angolo potrebbe tranquillamente valere 9,999999999956° - a un ingegnere, o a un fisico, questo è sufficiente ovviamente)

Per favore, non mandatemi al manicomio: il 2 dovrebbe essere risolvibile \"facilmente\" in modo analitico (ma per questi calcoli lunghi aspetto sempre un\'ora di filosofia o storia: saprete presto...)

Concordo, e ancora più facilmente coi numeri complessi (che è comunque un metodo analitico)

vi prego cercate una soluzione non analitica o trigonometrica...io non l\'ho ancora trovata...
 do un suggerimento per il primo (chi non lo vuole ignori quanto segue...):
 _individuare su AC il punto P tale che PC=BC.
 _dimostrare che il triangolo DPC è isoscele(DP=PC)... da questo segue immediatamente che ACD=10°(a voi verificarne il perchè: è abbastanza facile)

Il primo si risolve facilmente ragionando sugli angoli

Credo che sarebbe meglio postare direttamente le soluzioni, specialmente in vista della gara del 19.

ecco una soluzione euclidea del primo:
 
 sia P il punto su AC tale che CP=CB
 sia O la circonferenza di raggio AC con centro in A
 sia E il punto in cui O incontra la retta BD, dalla parte di D
 
 dimostrare che il trapezio EDPC è isoscele(quindi inscrivibile in una circonferenza)...naturalmente dopo aver dimostrato che è un trapezio...
 
 segue che DPE=PDC=DEP;
 siccome PDE= 160°, DPE + DEP=20°;
 siccome sono uguali sono entrambi 10°,
 quindi anche ACD è 10° perchè insiste sulla stessa corda di DEP [ Questo Messaggio è stato Modificato da: alberto il 12-02-2003 13:55 ]

Era semplicemente la prima cosa a cui avevo pensato...
 Ed è stato anche più facile del previsto.
 Come asse x si considera la retta sostegno di AC e si fa passare l\'asse y per B. Dopo aver trovato E ed F si trovano le 2 equazioni dele rette EC ed AF. Visto che hanno lo stesso termine noto si incontrano sull\'asse y e da qui segue la tesi.
 
 Ora provo per altre vie.

Alberto non ho capito il tuo suggerimento nella prima pagina (prendere il punto P tale che DP=PC).

OliForum Matematico

geometria