OliForum Matematico

Sia $ S_n $:={$ (x,y) $ t.c. $ x^2+xy+y^2=n $}, con $ x,y \in Z $ e $ n\in N_0 $.

Dimostrare che #$ (S_n) \equiv 0 \pmod 6 \forall n \in N_0 $

Scusate non ho capito bene il testo ; potreste spiegarmi meglio il problema?

Per Alex89, se fosse ancora in difficoltà:
Fissato un certo n intero, sia S_n l'insieme delle soluzioni intere dell'equazione che sta scritta là... dimostrare che questo insieme di soluzioni ha cardinalità sempre divisibile per 6 (per dirla più facile: il numero delle soluzioni (x,y) è multiplo di 6)

comunque forse sarebbe stato più appropriato in tdn...
Sembra difficile...Magari ci ragiono un pò ma a prima vista non credo di esser in grado di risolverlo

Un ultima domanda: Le coppie sono ordinate o meno? Ossia, (x,y)=(y,x)?

La notazione $ \left( x,y \right) $ indica sempre una coppia ordinata, salvo diverse specificazioni.

Curiosità: una coppia ordinata può essere definita, se non vogliamo somministrarla assiomaticamente, mediante $ \left( x,y \right):=\left\{ \left\{x \right\}, \left\{x,y \right\} \right\} \ \ \ \ $ (by von Neumann, mi sembra).
Ovviamente si deducono tutte le proprietà che si richiedono ad una coppia ordinata.

Buon lavoro per la risoluzione del problema postato da jordan, che credo al di fuori della mia portata!

Se $ (x,y) $ appartiene ad $ S_n $ allora vi apparterranno anche

1)$ (-x,x+y) $
2)$ (-y,x+y) $
3)$ (-x,-y) $
4)$ (x,-x-y) $
5)$ (y,-x-y) $.

Queste 6 soluzioni posso definirle come un "circolo chiuso", ossia se una a caso di queste appartiene ad $ S_n $ allora vi apparterranno tutte e 6 (provare x credere).
Ovviamente una soluzione appartiene ad un solo circolo chiuso (o per meglio dire da ogni soluzione deriva un solo circolo chiuso). Da cui la tesi.

hai considerato che se $ (x,y)\in S $allora$ (y,x)\in S $?..

e poi..chi ti dice che siano distinte?