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Scomporre sui razionali $ (x-1)(x-2)...(x-2007)(x-2008)-1 $.

Astenersi veterani, professionisti, esperti e amatori.
Inoltre faccio già che respingere eventuali critiche alla tipologia e alla difficoltà dell'esercizio proposto.

FeddyStra ha scritto:Astenersi veterani, professionisti, esperti e amatori.

e chi?

sarebbe stato più carino comunque chiedere "dimostrare che ha 2008 radici irrazionali", il che non è equivalente

UP!!

BONUS QUESTION

scomporre $ (x-1)^2(x-2)^2(x-3)^2....(x-2008)^2+1 $

Allora, supponiamo che $ p(x)=(x-1)...(x-2008)-1 $ si fattorizzi: $ p(x)=q(x)r(x) $ per due polinomi a coefficienti razionali q ed r.
Ora, è noto che se un polinomio a coefficienti interi fattorizza sui razionali fattorizza anche sugli interi; perciò abbiamo che q(1)*r(1)=p(1)=-1, e q(1) e r(1) sono interi: dunque devono essere $ q(1)=-r(1)=\pm 1 $, e similmente $ q(i)=-r(i)=\pm 1 $ per ogni i da 1 a 2008.
Consideriamo perciò $ q(x)+r(x) $, che ha grado minore o uguale al massimo dei gradi di q(x) e r(x). Se nessuno dei due è un polinomio costante, questa somma ha al massimo grado 2007. D'altra parte è anche vero che per ogni i fino a 2008 $ q(i)=-r(i) \Rightarrow q(i)+r(i)=0 $, ma allora $ q(x)+r(x) $ ha più zeri del suo grado, assurdo a meno che non sia la costante 0.
Ma da questo seguirebbe che $ r(x)=-q(x) $, ossia $ p(x)=-[q(x)]^2 $, assurdo per confronto dei coefficienti direttivi (un positivo e un negativo).

Perciò p(x) non si fattorizza sui razionali.

per la fattorizzazione su Q, se a è radice è della forma b/c con c divisore del coefficiente di x^2008 e b divisore del termine noto 2008!+1, quindi a è della forma +-d, con d divisore intero di 2008!+1, ma p(d) diverso da 0 per ovvi motivi.
chi si cimenta alla domanda mia e di simo(molto piu interessante)?

jordan ha scritto:per la fattorizzazione su Q, se a è radice è della forma b/c con c divisore del coefficiente di x^2008 e b divisore del termine noto 2008!+1, quindi a è della forma +-d, con d divisore intero di 2008!+1, ma p(d) diverso da 0 per ovvi motivi.

Cosi dimostri che non ha radici in Q, non che non è scomponibile in Q...

mitchan88 ha scritto:

jordan ha scritto:per la fattorizzazione su Q, se a è radice è della forma b/c con c divisore del coefficiente di x^2008 e b divisore del termine noto 2008!+1, quindi a è della forma +-d, con d divisore intero di 2008!+1, ma p(d) diverso da 0 per ovvi motivi.

Cosi dimostri che non ha radici in Q, non che non è scomponibile in Q...

Ah ecco, infatti non capivo a quale domanda sua (di jordan) si riferisse. Mi sembrava si fosse risposto da solo

albert_K ha scritto:Mi sembrava si fosse risposto da solo

be, non proprio..non ho risposto nè al mio nè agli atri due

Hai ragione tu in effetti.
Per rispondere al tuo quesito bisogna ancora dimostrare che ha 2008 radici reali.
Si vede facilmente notando che $ $ p(i + 1/2) $ $cambia segno 2008 volte, $ $ i=0,1,\dots 2008$ $

tanto per aggiungere cazzate a cazzate, se ti scompongo cosi no è? $ \displaystyle (\prod_{j=1}^{2008}{(x-j)}+i)(\prod_{j=1}^{2008}{(x-j)}-i) $

In effetti potevo anche dire dove scomporre....

Beh diciamo di scomporlo $ \mathbb { Q } \left[ x \right] $