OliForum Matematico

scusate la mia ignoranza in materia, è da poco che mi sto interessando a questo tipo di problemi (mi attraggono molto). Volevo chiedervi come si risolve un problema del genere:
Trovare gli n tali che
n^5-n= o (mod 60)

Vi ringrazio in anticipo...e magari qualcuno può suggerirmi qualche testo da reperire di teoria su tutto ciò, gli sarei immensamente grato! ...ciao

$ n^5-n = n(n^4-1) = n(n^2-1)(n^2+1)=(n-1) n (n+1) (n^2+1) $

Siccome ci sono tre numeri consecutivi che si moltiplicano, quel numero è divisibile per 6. Quando lo scrivi come $ n(n^4-1) $ vedi subito che è anche sicuramente divisibile per 5, perciò in totale è sempre multiplo di 30. Se n è multiplo di 4 il numero è chiaramente multiplo di 4. Se n è dispari, (n-1)(n+1) è multiplo di 4. Perciò quel numero risulta comunque multiplo di 60. Se invece n è 2 modulo 4 gli altri fattori sono dispari e il tutto non funziona. Perciò i numeri sono tutti tranne quelli del tipo 4k+2.

Nello Junior Problem Seminar ( http://www.openmathtext.org/downloads.html ) si trova qualcosa di semplice semplice sulle congruenze, proprio per iniziare, anche se forse non è fatto benissimo...

Ciao!

Mah, io andrei un pò a ragionamento...del tipo..

La roba di sinistra si scompone come $ n(n-1)(n+1)(n^2+1) $
Mettiamo $ n $ pari...allora tra $ n-1,n+1 $ uno dei due è divisibile per 3, per qualunque scelta di $ n $. Quindi il problema diventa trovare gli $ n $ tali che $ n(n-1)(n+1)(n^2+1)\equiv 0 \pmod {20} $
Ora, dato che c'è un 4, e $ 4 \not \vert (n-1),(n+1),(n^2+1) $ che sono dispari
deve essere $ n=4k $. Risolto il 4, passi a $ n(n-1)(n+1)(n^2+1)\equiv 0\pmod 5 $. Ora analizzi come può essere congruo n modulo 5 e vedi che $ n\equiv 0,1,2,3,4 \pmod 5 $ vanno bene. Metti a sistema le relazioni ottenute...che ti danno che questa relazione vale, almeno per gli $ n $ pari, per quelli del tipo $ 4k $.

A te il caso $ n $ dispari! Magari posta pure sul forum, e se non ti torna chiedi pure.
Ovviamente se qualcuno avesse trovato un modo più efficiente tanto meglio!

Edit: ma se il Pig mi precede!

C'è un passo di un problema risolto da Gobbino durante la lezione tenuta a Carrara che è analogo. E' spiegato in modo semplice e chiaro. Io ho appena iniziato a sentirle e sono davvero interessanti. Le puoi trovare qui. http://www2.ing.unipi.it/~d9199/Home_Page/OT_Index.html