OliForum Matematico

1. Abbiamo un rettangolo reticolato 125x35. Tracciamo la diagonale. Per quante caselle passa la diagonale?
<BR>
<BR>2. Quale è il più piccolo n tale che n^3 (il cubo di n) finisce per 111?
<BR>
<BR>3. Dimostrazione. Abbiamo una tavola a forma di poligono regolare. delle persone (A,B,C,.....) si siedono in corrispondenza dei vertici. Poi si alzano e si siedono rimescolando i posti. Dimostrare che qualsiasi sia il poligono della tavola la distanza fra 2 persone è rimasta invariata.

ops...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: colin il 12-02-2003 00:35 ]

non è giusto ignorare così questi 3 problemi...
<BR>
<BR>1-
<BR> se m e n sono primi fra loro la diagonale non intreccia nessuna casella in un vertice se non le due caselle all\'estremità. immaginiamo di eliminare dal reticolato le colonne. le righe (escluse quelle del bordo) vengono incontrate m-1 volte, ora immaginiamo di eliminare le righe. le colonne (escluse quelle del bordo) vengono intercettate n-1 volte.
<BR>il numero totale di \"intercettazioni\" è quinndi m+n (vanno sommate le 2 intercettazioni ai 2 vertici estremi della diagonale)
<BR>immaginando di percorrere la diagonale da un estremo all\'altro a ogni \"intercettazione\" la diagonale \"entra\" in una nuova casella...tranne all\'ultima intercettazione, perchè esce dal reticolo. il numero di caselle in cui entra, e quindi che intercetta, è quindi m+n-1
<BR>_ora se m e n non sono primi fra loro possiamo immaginare di dividere il reticolato in tanti reticolati isomorfi a quello originario e di lati primi fra loro (quindi di lati m/MCD(m,n) e n/MCD(m,n).)
<BR>il numero di questi reticoli che viene intercettato dalla diagonale è MCD(m,n) (uno per ogni riga o indifferentemente per ogni colonna)
<BR>ora è facile quindi trovare la formula generale per la risoluzione del problema:
<BR> (((m+n)/ MCD(m,n))-1)*MCD(m,n)
<BR>che nel caso specifico da risultato 155.
<BR>

m+n-MCD(m,n) è la stessa cosa ma suona un po\' meglio.

Suvvia ragazzi, il secondo?
<BR>I primi due li ho risolti in 10 minuti...
<BR>Il terzo invece no<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: lucianorossi il 14-02-2003 18:22 ]

ah, già, il secondo. In realtà stavo aspettando che qualcuno postasse una soluzione fatta per bene, comunque:
<BR>la cifrà delle unità deve essere 1. Visto che la cifra delle centinaia non influisce su quella delle decine, ho fatto il prodotto x1*x1*x1 (x ccifra delle decine) e ho trovato che x deve essere uguale a 7. Ho rifatto la stessa cosa e ho trovato che la cifra delle centinaia deve essere 4.
<BR>Ora spetto una qualche dimostrazione un po\' più elegante. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">

Non ho capito il tuo procedimento Ale. Come hai svolto il prodotto tenendo 1 come cifra delle unità?

Sai le moltiplicazioni in colonna? quelle...
<BR>
<BR> x1*
<BR> x1
<BR> ---
<BR> x1
<BR>x^2 x-
<BR>---------
<BR>x^2 2x 1
<BR> .
<BR> .
<BR> .
<BR>
<BR>
<BR>Beh, immaginatelo incolonnato per bene<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ale86 il 14-02-2003 18:54 ]

ehehe..ho capito, grazie.

Chiaramente influiranno solo le ultime tre cifre, quindi il più piccolo numero tale che il suo cubo termina con 111 ha tre cifre.
<BR>La cifra delle unità deve essere 1
<BR>La cifra delle decine deve essere tale che il suo triplo deve avere la cifra delle unità pari a 1, tale cifra è 7.
<BR>Per la cifra delle centinaia mi sa che bisogna fare i conti...

Ok facciamolo per benino:
<BR>n^3==1 (10) --> n==1 (10) --> n=10k+1. n^3==111 (1000) --> 1000k^3+300k^2+30k+1==111 (1000) --> 30k+1==11 (100) --> 3k==1 (10) --> k==7 (10) --> k=10a+7 --> 300(10a+7)^2+300a+30*7+1==111 (1000) --> 300(10a+7)^2+300a+100==0 (1000) --> 3(10a+7)^2+3a+1==0 (10) --> 3*49+3a+1==0 (10) --> 3a==2 (10) --> a==4 perciò n finisce per 471

Non posso credere che nessuno abbia risolto il terzo. Avanti, postate la soluzione.

hint(o suggerimento):
<BR>pensate ai piccioni e al loro principio...
<BR>chiamato anche dei cassetti

Bisogna ragionare per assurdo? Se la risposta é sì credo di aver capito...

Allora... in poligono regolare di lato n le possibili distanze di un vertice da un altro sono al massimo n-2, (le distanze di un vertice dagli n-3 vertici a lui non consecutivi più la distanza da i due vertici consecutivi, che è la stessa). Dato poi che tra n persone è possibile individuare n(n-1)/2 coppie si ha che almeno n(n-3)/2+3 coppie distano uguali ( n(n-1)/2-(n-2)+1=n(n-3)+3 ).
<BR>Dopo lo spostamento tutte queste coppie che distavano uguali devono distare diversamente, ma ciò è impossibile essendoci \"disponibili\" solo n-2 distanze ed essendo n-2 minore di n(n-3)/2+3 per ogni n.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: publiosulpicio il 16-02-2003 16:54 ]