Convergenza di polinomi

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publiosulpicio
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Convergenza di polinomi

Messaggio da publiosulpicio » 07 lug 2005, 15:49

Sia $ P_i: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ un polinomio $ \forall i \in \mathbb{N} $, e si supponga che la successione $ \{P_i\}_{i \in \mathbb{N}} $ converga puntalmente su tutto $ \mathbb{R} $ a una funzione $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $. Si provi che $ f $ non è necessariamente un polinomio (giusto per riscaldamento). Si provi che $ f $ è necessariamente un polinomio se è soddisfatta almeno una delle seguenti condizioni:
1) la convergenza della successione $ \{P_i\}_{i \in \mathbb{N}} $ a $ f $ è uniforme su tutto $ \mathbb{R} $.
2) la successione $ \{\deg(P_i)\}_{i \in \mathbb{N}} $ dei gradi dei polinomi è limitata, cioé $ \exists M \in \mathbb{R}^+ $ tale che $ |\deg(P_i)| \leq M \; \forall i \in \mathbb{N} $.

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HiTLeuLeR
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Re: Convergenza di polinomi

Messaggio da HiTLeuLeR » 08 lug 2005, 17:30

publiosulpicio ha scritto:Sia $ P_i: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ un polinomio $ \forall i \in \mathbb{N} $, e si supponga che la successione $ \{P_i\}_{i \in \mathbb{N}} $ converga puntalmente su tutto $ \mathbb{R} $ a una funzione $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $. Si provi che $ f $ non è necessariamente un polinomio (giusto per riscaldamento).
Per ogni $ i\in\mathbb{N} $, si ponga $ P_i(x) := \sum_{k=0}^{i} \frac{x^k}{k!} $, se $ x\in\mathbb{R} $, e si consideri che la funzione esponenziale $ \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C}: x \mapsto e^x $ non è un polinomio, poiché non costante e priva di zeri.

MindFlyer

Re: Convergenza di polinomi

Messaggio da MindFlyer » 24 lug 2005, 01:26

HiTLeuLeR ha scritto:la funzione esponenziale $ \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C}: x \mapsto e^x $ non è un polinomio, poiché non costante e priva di zeri.
Quindi secondo te $ x \mapsto x^2+1 $ non è un polinomio poiché non costante e privo di zeri? :shock:
Si può dimostrare che $ x \mapsto e^x $ non è un polinomio considerando che tutte le sue derivate sono prive di zeri.

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 24 lug 2005, 07:20

MindFlyer ha scritto: Quindi secondo te $ x \mapsto x^2+1 $ non è un polinomio poiché non costante e privo di zeri?
E quel tuo coso che sarebbe, di grazia? Se di funzione trattasi, beh... direi che ti sei scordato qualche pezzo indietro! Ed anche ammesso, non capisco - proprio non capisco! - come si possa dire che la mappa $ \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C}: x \mapsto x^2 + 1 $ è priva di zeri. Quello sconvolto - concedimelo - dovrei esser io, piuttosto... :shock: :shock: :shock:

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 24 lug 2005, 07:49

Ah, non avevo letto da C a C, lol... Sorry per il misunderstanding.

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 25 lug 2005, 05:17

Tanto per dir qualcosa ... 1)==> 2), infatti
$ \exists i_\epsilon\in\mathbb{N} \ t.c.\ \forall\ k\geq i_\epsilon\quad |P_k(x)-f(x)|<\epsilon\quad \forall\ x\in\mathbb{R} $
per uniforme convergenza; sia $ n=deg(P_{i_\epsilon}) $, allora
$ P_{i_\epsilon}-\epsilon<f(x)<P_{i_\epsilon}+\epsilon $ e dunque
$ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^n}=\lim_{x\to\infty}\frac{P_{i_\epsilon}(x)}{x^n}=L\in\mathbb{R}^* $
Se dunque esiste $ k>i_\epsilon $ per cui $ m=deg(P_k)>n $, allora si ha
$ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^m}=\lim_{x\to\infty}\frac{P_{k}(x)}{x^m}=L'\in\mathbb{R}^* $ ma nel contempo
$ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x^m}=\lim_{x\to\infty}\frac{P_{i_\epsilon}(x)}{x^m}=\lim_{x\to\infty}\frac{L}{x^{m-n}}=0 $
e questo è assurdo. Quindi 2).

Non che questo aiuti a risolvere il problema... anche perchè 2)==>1) è ovviamente falso :
$ P_i(x)=p(x)+x^n/i $ con p(x) un polinomio di grado n-1.
Era solo un'osservazione

Corretto il LaTeX. MindFlyer

ma_go
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Messaggio da ma_go » 25 lug 2005, 09:30

uhm...
io c'avevo dato un'occhiata tempo fa (è su un libro che ci hanno proposto come eserciziario), e mi sono venute in mente due cosette..
innanzitutto:
- estraiamo una sottosuccessione della successione iniziale, chiamiamola $ D_i $ (altrimenti non se ne viene più fuori con gli indici), tale che tutti i polinomi hanno lo stesso grado $ d $.
- poiché la convergenza è uniforme su un compatto, non ci può essere nessuna sottosuccessione di coefficienti che diverga all'infinito (si giunge ben presto ad un assurdo), quindi tutte le successioni dei coefficienti sono limitate...
- a questo punto, bolzanoweierstrassizziamo un po', e lavorando con calma e pazienza si dovrebbe giungere a dire che questa successione converge ad un polinomio di grado minore uguale a $ d $.

il lavoro "sporco" sta nell'ultimo punto, che va un tantinello sistemato...
però "informalmente" la cosa dovrebbe funzionare...

ps. aveva due pallini, questo problema, in quel libro... e due pallini ce li ha pure la dimostrazione del metodo della variazione delle costanti, tanto per dare un termine di paragone...

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 26 lug 2005, 16:11

ma_go ha scritto: il lavoro "sporco" sta nell'ultimo punto, che va un tantinello sistemato...
Non c'è molto lavoro sporco da fare: prendi una sottosuccessione di polinomi che converga rispetto al primo coefficiente. Da questa, estrai una sottosuccessione che converga rispetto al secondo, etc. Siccome tutti i polinomi hanno lo stesso grado, dopo un numero finito di estrazioni hai una successione di polinomi che converge rispetto a tutti i coefficienti, ergo converge ad un polinomio.

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 16 set 2005, 15:35

Mi sembra che ci siano state solo risposte al primo punto..qualche idea per la seconda parte?
Cmq questo era uno dei 4 esercizi del primo compitino di analisi IV (che non è proprio facile).

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elianto84
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Messaggio da elianto84 » 18 set 2005, 12:49

Constatazione (pressochè inutile):

$ P_k(x)=\prod_{j=1}^k (1-\frac{x^2}{j^2\pi^2}) \xrightarrow{\text{puntualmente,} \ \forall x \in \mathbb{R}} \frac{\sin x}{x} $

Mettiamo che il grado dei nostri $ P_k(x) $ sia limitato da una costante N,
e che questi convergano puntualmente su $ \mathbb{R} $ verso $ f $.
Presi N+1 punti qualunque sulla retta reale, $ a_0,\dots,a_n $ abbiamo che

$ \forall \epsilon \geq 0 \ \exists M \ \text{tale che} \ (P_M(a_i)-f(a_i))^2 \leq \epsilon^2 \quad \partial P_M=N $

di conseguenza, per il metodo delle differenze divise,
esisteranno dei coefficienti $ A_0,\dots,A_n $

$ \sum_{j=0}^n A_j f(a_j) \leq \epsilon $

In soldoni, presi gli $ a_i $ molto molto vicini, abbiamo che l'(n+1)-esimo
rapporto differenziale della f è zero a tappeto, dunque f è necessariamente
un polinomio. (Da mettere a posto, ora sono di fretta).
Jack alias elianto84 alias jack202

http://www.matemate.it IL SITO

.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 14 set 2006, 22:52

Riesumo questo vecchio topic in quanto mi sembra di ricordare che avesse destato almeno un po' di interesse e ora ho una soluzione decente.
Supponiamo che la successione $ \left\{\deg{\left(P_i}\right)\right\}_{i \in \mathbb{N}} $ sia limitata da una costante $ M $. La funzione $ \|\cdot\| $ che manda il polinomio $ P $ in $ \|P\|=\sum_{j=1}^M P(j) $ è una norma sull'insieme $ V $ dei polinomi di grado non superiore a $ M $ per il principio di identità dei polinomi. Tale spazio è ovviamente finito dimensionale, quindi la norma $ \|\cdot\| $ è equivalente alla norma del $ \sup $ su un qualsiasi compatto $ K $. Sempre poiché $ V $ è finito dimensionale, $ V $ è completo, quindi il limite di $ \left\{P_i\right\}_{i \in \mathbb{N}} $ in norma $ \|\cdot\| $ è un polinomio di grado non superiore a $ M $, inoltre per l'equivalenza tra le norme tale polinomio è anche il limite uniforme su ogni compatto della successione. Osservando infine che la convergenza puntuale di $ \left\{P_i\right\}_{i \in \mathbb{N}} $ implica la convergenza in norma $ \|\cdot\| $ e che limite uniforme e limite puntuale devono coincidere si ha la tesi.

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