Es. sui numeri primi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
mark86
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Es. sui numeri primi

Messaggio da mark86 » 01 mar 2005, 14:13

Ciao ragazzi,
sto studiando su Santos e uno dei problemi che non so come risolvere è questo

Prova che ci sono infiniti numeri primi della forma 6n-1

Qual è il metodo da seguire? Come si risolve?
In genere quando bisogna lavorare con i numeri primi, cosa si deve fare?
Nota : il problema è della sezione Arithmetic, Division Algorithm
Grazie in anticipo

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 mar 2005, 14:53

Teorema (di Dirilecht) Esistono infiniti primi in una progressione aritmetica in cui la ragione e il primo termine sono coprimi.

Posto ciò, basta che la prendi di ragione 6 e primo termine 5 e hai la tua tesi, poichè $ MCD(5,6)=1 $
Ultima modifica di Boll il 01 mar 2005, 17:36, modificato 1 volta in totale.

ma_go
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Messaggio da ma_go » 01 mar 2005, 15:12

usiamo i cannoni, Boll?
beh, insomma...
osservazioncine preliminari: gli unici primi che non siano della forma $ 6n + 1 $ o $ 6n-1 $ sono $ 2 $ e $ 3 $.
ora, supponiamo per assurdo che i numeri della forma $ 6n-1 $ siano finiti, diciamo $ p_i $, con $ i = 1.. k $, e consideriamo il prodotto di tutti questi primi, per $ 6 $: $ 6p_1 p_2 ... p_k - 1 $. questo numero sarà della forma $ 6k-1 $, e sarà primo con tutti i $ p_i $.
nella sua fattorizzazione, poi, non possono comparire solo fattori primi della forma $ 6n + 1 $, altrimenti saltano le congruenze modulo $ 6 $.
quindi esiste un altro primo della forma $ 6n - 1 $.
e questo ci dà come assurda la supposizione che ne esistesse un numero finito.
chiaro che il metodo è facilmente generalizzabile a molte altre congruenze...

del tutto analogo: dimostrare che esistono infiniti primi della forma $ 4k+3 $.
bye :)

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 mar 2005, 15:15

...per non parlare di:
Boll ha scritto:Teorema (di Dirichelet)

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 mar 2005, 17:34

ma_go ha scritto: chiaro che il metodo è facilmente generalizzabile a molte altre congruenze...
Dici?!? Boh, a me pare che non siano poi così numerosi, i casi in cui è possibile adottare argomenti altrettanto spiccioli! In totale?!? Uhmmm... Quante sono le soluzioni in interi positivi dell'equazione $ \phi(x) = 2 $ ?!? :roll: 8)

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 mar 2005, 17:37

Pietà pietà pietà...

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 mar 2005, 18:07

Ok, dacché ci siamo, rilancio con un paio di classici un pochito mucho interessanti...

Problema #2: senza evocare il teorema di Dirichlet, si provi che esistono infiniti primi naturali della forma $ 4n+1 $, essendo $ n\in\mathbb{N} $.

Problema #3: senza disturbare il meritato riposo del sommo Dirichlet, si mostri che vi sono infiniti primi naturali fra i termini della progressione aritmetica $ \{6t+1\}_{t\in\mathbb{N}} $.

P.S.: Boll, se posso dirti come la vedo io, beh... Tu non sei degno pietà: il tuo unico merito sarebbero le frustate sul sedere con un ramo di giunco intinto nell'aceto!!!

mark86
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Messaggio da mark86 » 01 mar 2005, 19:01

Scusa ma_go, ma non capisco perchè 6(p1)(p2)... - 1 è primo con i vari p, e poi la conclusione del ragionamento (quando fai riferimento ai numeri 6n + 1); spero che non ti dispiaccia rispondere...
Se potete, vorrei capire quale sarebbe la via dimostrativa che dovrei seguire riferendomi al capitolo delle note di santos (Aritmetica/ Algoritmo di divisione); è da lì che ho tratto il problema e le congruenze nn sono ancora menzionate - vengono introdotte alcune pag dopo -

Ancora grazie[/tex]

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Messaggio da Marco » 01 mar 2005, 21:49

mark86 ha scritto:non capisco perchè 6(p1)(p2)... - 1 è primo con i vari p, e poi la conclusione del ragionamento (quando fai riferimento ai numeri 6n + 1); spero che non ti dispiaccia rispondere...
Lo dimostro per $ p_1 $ (tanto per gli altri è la stessa zuppa).

MCD(a+kb,b) = MCD(a,b) [proprietà del MCD]
da cui,
$ MCD( -1 + p_1 \cdot p_2 p_3 \cdots, p_1 ) = MCD( -1, p_1 ) = 1 $

Ora, quel numero è della forma 6k-1, per come è fatto; considera la sua scomposizione in fattori primi: ci saranno un po' di fattori primi della forma 6k+1. Non ci potranno essere né fattori 2 e 3, né della forma 6k-1, dato che abbiamo appena dimostrato che questi primi non dividono il prodottone in questione. Allora tale prodottone è prodotto di fattori della forma 6k+1 e quindi, in ultima analisi, è esso stesso della forma 6k+1. Assurdo. []

Meglio?

Ciao. M.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."

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Messaggio da mark86 » 02 mar 2005, 14:05

Perchè dici che
ci saranno un po' di fattori primi della forma 6k+1
,
come faccio a saperlo?

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Messaggio da Marco » 02 mar 2005, 17:29

Il Teorema di Fattorizzazione Unica. Ogni numero naturale positivo può essere scritto in modo unico (a meno di cambiare l'ordine), come prodotto di numeri primi.

Chiama $ P = 6 p_1 p_2 \cdots - 1 $. (è il prodottone di tutti i primi della forma 6k-1, di cui parlavo nel msg precedente).

Applica il T.F.U. a P. Esso è prodotto di numeri primi. Nessuno di essi può essere 2, 3, o uno qualunque dei $ p_i $. Gli unici primi rimanenti sono della forma 6k+1. Quindi la scomposizione unica di P è come prodotto di primi, tutti della forma 6k+1. Ma il prodotto di roba 6k+1 è del tipo 6k+1, ma noi sappiamo che P, per come è fatto, è in verità del tipo 6k-1. Un numero non può essere contemporaneamente della forma 6k-1 e 6k+1. Questo è un assurdo, che nasce dal fatto di avere supposto che esistesse solo un numero finito di primi del tipo 6k-1.

mark86
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Messaggio da mark86 » 03 mar 2005, 14:06

Ho capito, grazie tanto. Spero che sia stato comunque interessante questo problema e non banale...
Alla prossima

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jordan
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Messaggio da jordan » 08 mar 2009, 02:12

HiTLeuLeR ha scritto:Problema #2: senza evocare il teorema di Dirichlet, si provi che esistono infiniti primi naturali della forma $ 4n+1 $, essendo $ n\in\mathbb{N} $.
Perchè nessuno gli ha dato retta? :?
Supponendo che siano finiti allora è sufficiente considerare il numero $ N=(2\prod_1^k{p_i})^2+1 $ che è somma di due quadrati, ma $ (\frac{1}{p})=1 \leftrightarrow 4|p-1 $, da cui la tesi.
HiTLeuLeR ha scritto:Problema #3: senza disturbare il meritato riposo del sommo Dirichlet, si mostri che vi sono infiniti primi naturali fra i termini della progressione aritmetica $ \{6t+1\}_{t\in\mathbb{N}} $.
Lo stesso supponendo $ N=(2\prod_i{p_i})^2+3 $..

Si potrebbe anche continuare..
Problema4-Mostrare che esistono infiniti primi della forma $ 10k+9 $ :wink:
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 08 mar 2009, 03:50

Boll ha scritto:Teorema (di Dirilecht)
Mi ero perso questa, lol!
Da Dirichelet corretto in Dirilecht, non male! :roll:

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Strane perversioni!

Messaggio da HarryPotter » 08 mar 2009, 10:21

mark86 ha scritto:Posted: 03 Mar 2005 13:06
jordan ha scritto:Posted: 08 Mar 2009 01:12
Ma questa è necrofilia di topic! :shock:

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