Bound sul numero di sottinsiemi ordinati

[dario2994]

Dato un alfabeto con n>1 lettere chiamo k il numero di parole senza 2 lettere uguali (conto anche la parola "vuota"). Dimostrare che:
$ $2<\frac{k}{n!}<e $

p.s. sono quasi certo che sia un risultato noto... ma è comunque carino, magari da lasciare ai nuovi ;)

[Maioc92]

si questo è un fatto noto direi... infatti basta sapere che la definizione esponenziale di e ($ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac 1 n)^n $) è equivalente alla definizione coi fattoriali (ovvero $ \displaystyle e=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=0}^n\frac {1}{i!} $). Sapendo questo il problema è meccanico...però non credo che la dimostrazione di questo fatto sia elementare

[dario2994]

Meccanico per te... per altri no ;) Comunque hai fatto bene a mettere le 2 definizioni... così almeno chi riesce a finire la "prima parte" del problema poi non smadonna per dimostrare l'identità xD
Comunque alla fine non è così difficile dimostrare l'identità (visto da wiki) praticamente si usa il binomio di newton e il metodo sandwich (quello della chiusura tra 2 limiti uguali...), se vuoi prova ;)

[Maioc92]

hai ragione
Io non l'avevo mai guardata ma immaginavo contenesse strumenti più avanzati. Invece è una di quelle dimostrazioni magari non cosi ovvie da trovare la prima volta ma facili da capire per chiunque le legga. Grazie per la segnalazione

[Tibor Gallai]

http://en.wikipedia.org/wiki/Characteri ... l_function

La dimostrazione lì è un po' più tecnica del necessario. Dimostrate prima che entrambe le successioni convergono monotonamente (abbastanza facile ed elementare), poi ponete x=1 nella dimostrazione di wikipedia, e sostituite ogni limsup e liminf con dei normali limiti.

Come al solito, e come ripeterò all'infinito,

EVITATE WIKIPEDIA ITALIANA COME LA PESTE!!!

Anche in questo caso la "dimostrazione" è fatta all'italiana, e contiene quindi sconcezze inenarrabili.

[jordan]

EVITATE WIKIPEDIA ITALIANA COME LA PESTE!!!

LOL
Ma non eri tu un contributor o mi confondo con qualcun altro?

[Tibor Gallai]

Non ho mai contribuito a wikipedia, in alcuna forma.
Ho contribuito a tenere la gente alla larga da wikipedia italiana, anche se per qualche bislacco motivo gli italiani paiono continuare a dire a google di cercare preferibilmente pagine in italiano, ragion per cui i miei sforzi si dimostrano puntualmente vani.

[karlosson_sul_tetto]

[OT]

EVITATE WIKIPEDIA ITALIANA COME LA PESTE!!!

LOOL

Non ho mai contribuito a wikipedia, in alcuna forma.

Allora hai contribuito a nonciclopedia?
[OT]

Dato un alfabeto con n>1 lettere chiamo k il numero di parole senza 2 lettere uguali (conto anche la parola "vuota"). Dimostrare che:
$ $2<\frac{k}{n!}<e $
p.s. sono quasi certo che sia un risultato noto... ma è comunque carino, magari da lasciare ai nuovi

Scusa la domanda ma che cos'è "e"?

[Tibor Gallai]

che cos'è "e"?

viewtopic.php?p=82732#82732

[dario2994]

È il numero di nepero... un numero di cui personalmente so poco e niente, quindi ti rimando alla pagina di wiki (inglese altrimenti rischio il linciaggio :|):
http://en.wikipedia.org/wiki/E_%28mathe ... onstant%29
In generale per questo esercizio ti basta sapere che è esprimibile (esiste questa parola???) così:
$ $e=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\frac{1}{i!} $

[karlosson_sul_tetto]

che cos'è "e"?

viewtopic.php?p=82732#82732

È il numero di nepero... un numero di cui personalmente so poco e niente, quindi ti rimando alla pagina di wiki (inglese altrimenti rischio il linciaggio ):
http://en.wikipedia.org/wiki/E_%28mathe ... onstant%29
In generale per questo esercizio ti basta sapere che è esprimibile (esiste questa parola???) così:
$ $e=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\frac{1}{i!} $

Ah,grazie a tutti!