Dimostrare che esistono al più 2n isometrie che mandano S in se stesso.
Problema molto "naturale", infatti mi è venuto in mente passeggiando per il vialetto vicino al castello di Gradisca
Figure simili a se stesse, ma non troppo...
Figure simili a se stesse, ma non troppo...
S è un insieme finito di punti del piano con n elementi.
Dimostrare che esistono al più 2n isometrie che mandano S in se stesso.
Problema molto "naturale", infatti mi è venuto in mente passeggiando per il vialetto vicino al castello di Gradisca
Dimostrare che esistono al più 2n isometrie che mandano S in se stesso.
Problema molto "naturale", infatti mi è venuto in mente passeggiando per il vialetto vicino al castello di Gradisca
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Katerina89
- Messaggi: 33
- Iscritto il: 10 ott 2006, 00:33
Uhm riesumo pure questo gia che ci sono... oggi va così xD
Associo al mio insieme di punti il suo inviluppo convesso che sarà chiaramente un poligono convesso con al più n punti.
Se un'isometria manda l'insieme in se stesso manda anche l'inviluppo convesso in se stesso, quindi manda il poligono in se stesso. In particolare 2 vertici consecutivi vanno in 2 vertici consecutivi quindi la coppia A,B di punti ha AL MASSIMO 2n possibili posti dove andare a finire (scelgo dove va in lato AB e poi scelgo l'orientamento della figura). Poichè fissati dove vanno 2 punti (a meno di simmetrie che però non sono da considerare in questo caso per ovvi motivi: se il poligono sta da una parte non sta dall'altra) è fissata tutta l'isometria e ottengo che esistono al massimo 2n isometrie che mandano la figura in se stessa.
In particolare si ottiene anche che affinchè ne esistano ESATTAMENTE 2n la figura deve avere tutti i lati uguali e gli angoli uguali (affinchè tutte le 2n isometrie definite in precedenza vadano bene)... è perciò un poligono regolare con n lati che è facile vedere che soddisfa.
I casi n=1,2 sono a parte ma sono ovvi.
Associo al mio insieme di punti il suo inviluppo convesso che sarà chiaramente un poligono convesso con al più n punti.
Se un'isometria manda l'insieme in se stesso manda anche l'inviluppo convesso in se stesso, quindi manda il poligono in se stesso. In particolare 2 vertici consecutivi vanno in 2 vertici consecutivi quindi la coppia A,B di punti ha AL MASSIMO 2n possibili posti dove andare a finire (scelgo dove va in lato AB e poi scelgo l'orientamento della figura). Poichè fissati dove vanno 2 punti (a meno di simmetrie che però non sono da considerare in questo caso per ovvi motivi: se il poligono sta da una parte non sta dall'altra) è fissata tutta l'isometria e ottengo che esistono al massimo 2n isometrie che mandano la figura in se stessa.
In particolare si ottiene anche che affinchè ne esistano ESATTAMENTE 2n la figura deve avere tutti i lati uguali e gli angoli uguali (affinchè tutte le 2n isometrie definite in precedenza vadano bene)... è perciò un poligono regolare con n lati che è facile vedere che soddisfa.
I casi n=1,2 sono a parte ma sono ovvi.
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
L'intersezione di tutti i semipiani che contengono l'insieme.
L'intersezione di tutti i poligoni (intesi come parti di piano e non come linee) convessi che contengono l'insieme.
L'intersezione di tutti i sottoinsiemi convessi del piano che contengono l'insieme.
Scegli.
(Dati i punti $ (x_j, y_j) $ per $ j=1,\ldots, n $ è l'insieme
$ K=\displaystyle\left\{\left(\sum_{j=1}^n\lambda_jx_j, \sum_{j=1}^n\lambda_jy_j\right)\ :\ \sum_{j=1}^n\lambda_j\leq 1,\ \lambda_j\geq 0\ j=1,\ldots, n\right\} $
più chiaro così?)
L'intersezione di tutti i poligoni (intesi come parti di piano e non come linee) convessi che contengono l'insieme.
L'intersezione di tutti i sottoinsiemi convessi del piano che contengono l'insieme.
Scegli.
(Dati i punti $ (x_j, y_j) $ per $ j=1,\ldots, n $ è l'insieme
$ K=\displaystyle\left\{\left(\sum_{j=1}^n\lambda_jx_j, \sum_{j=1}^n\lambda_jy_j\right)\ :\ \sum_{j=1}^n\lambda_j\leq 1,\ \lambda_j\geq 0\ j=1,\ldots, n\right\} $
più chiaro così?)
sinceramente non capisco cosa rappresentano quelle sommatorieEvaristeG ha scritto:
(Dati i punti $ (x_j, y_j) $ per $ j=1,\ldots, n $ è l'insieme
$ K=\displaystyle\left\{\left(\sum_{j=1}^n\lambda_jx_j, \sum_{j=1}^n\lambda_jy_j\right)\ :\ \sum_{j=1}^n\lambda_j\leq 1,\ \lambda_j\geq 0\ j=1,\ldots, n\right\} $
più chiaro così?)