[PreWC] - 4 variazioni su un angolo

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EvaristeG
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[PreWC] - 4 variazioni su un angolo

Messaggio da EvaristeG » 02 gen 2014, 15:00

Cari WCisti e cari utenti, forse cadrà nel vuoto, ma ci provo lo stesso. Ora vi propongo un problema. Non è un problema nuovo e non è un problema difficilmente reperibile online; si tratta infatti del secondo problema delle BMO 2009. Dopo il problema, vi indicherò, ognuno celato da opportuno hide, 4 strade di soluzione, in qualche modo diverse. L'invito ovviamente è di provare a farlo in tutti e 4 i modi e di postare almeno una di queste soluzioni, scritta il meglio possibile. Non vi garantisco di controllare le soluzioni, ma questo potete farlo l'un con l'altro.

Problema Sia $ABC$ un triangolo e siano dati i punti $M$ sul lato $AB$ e $N$ sul lato $AC$, di modo che $BC$ e $MN$ siano parallele. Le rette $BN$ e $CM$ si incontrano in $P$; le circonferenze circoscritte a $BMP$ e $CNP$ si incontrano in $P$ e $Q$. Mostrare che $\angle BAQ=\angle CAP$.

1:
Testo nascosto:
Sia $D$ l'intersezione tra la circonferenza circoscritta ad $ABC$ e $AQ$. Tramite Ceva e similitudini, ricavare relazioni tra lunghezze per dimostrare che il quadrilatero $ABCD$ è armonico (cosa vuol dire in termini di lati? e in termini di angoli) ed utilizzare questo fatto per concludere.
2:
Testo nascosto:
Considerare l'inversione di centro $A$ e raggio $\sqrt{AB\cdot AC}$ e poi la simmetria rispetto alla bisettrice di $\angle BAC$. Dimostrare che tramite questa trasformazione $AP$ e $AQ$ si scambiano (che fanno le due circonferenze che definiscono $P$ e $Q$?).
2b:
Testo nascosto:
Si consideri $Q$ come punto di Miquel di un quadrilatero completo (quale?) e se ne deducano opportune ciclicità (ANQB e... ?), arrivando alla similitudine tra QAB e QCP. Si utilizzi questa roto-omotetia (similitudine a spirale) per concludere.
3:
Testo nascosto:
Per la gioia di grandi e piccini: Ceva per mostrare che si sta cercando di dimostrare che AQ è simmediana e poi baricentriche.
4:
Testo nascosto:
Ceva per mostrare che si sta cercando di dimostrare che AQ è simmediana e poi similitudini per calcolare il rapporto $\sin QAC/\sin QAB$ (quanto deve essere questo rapporto per la simmediana?)
Ovviamente, altre soluzioni sono possibili. Buon LLLavoro.

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Troleito br00tal
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Re: [PreWC] - 4 variazioni su un angolo

Messaggio da Troleito br00tal » 02 gen 2014, 19:15

Bello!

Propongo una soluzione.

Vale la seguente catena di uguaglianze: $180 - A \hat M Q = B \hat M Q=B \hat P Q = 180 - Q \hat P N = Q \hat N C$, da cui $AMQC$ è ciclico. Analogamente, $BQNA$ è ciclico.

Ora, invertiamo in $A$ con raggio $\sqrt{AB \cdot AC}$ e simmetrizziamo rispetto alla sua bisettrice. Indichiamo con $P'$ l'immagine del punto $P$. $C$ va in $B$ e viceversa, $M$ va in $M'$, $N$ va in $N'$. $Q$ è interessante: va nell'intersezione fra l'immagine delle circonferenze circoscritte di $ANQB$ e $AMQC$, che sono le rette $M'C$ e $N'B$. La loro intersezione $Q'$ sta contemporaneamente sulla simmetrica rispetto alla bisettrice della retta $AQ$ e sulla retta $AP$, poiché esiste un'omotetia in $A$ che manda $MNBC$ in $M'N'B'C'$ (occhio: $MN$ va in $B'C'$ e viceversa!). Da questo segue la tesi.

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Kfp
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Re: [PreWC] - 4 variazioni su un angolo

Messaggio da Kfp » 02 gen 2014, 21:58

Soluzione diversamente bella:
Testo nascosto:
Innanzitutto notiamo che, applicando il teorema di Ceva alle retta passanti per $P$ e chiamando $G$ l'intersezione di $AP$ con $BC$, si ottiene:
$$\frac{AN}{NB}\frac{MB}{NB}\frac{CG}{GB}=1 \rightarrow CG=GB$$
dopo una facile semplificazione dovuta al teorema di Talete. Ne segue che $AP$ è mediana del triangolo $ABC$, e ci basta dunque dimostrare che $AQ$ è simmediana.
Ora, applicando Ceva trigonometrico alle ceviane passanti per $Q$, abbiamo:
$$\frac{\sin{ACQ}}{\sin{QCB}}\frac{\sin{CBQ}}{\sin{QBA}}\frac{\sin{BAQ}}{\sin{QAC}}=1 $$
(Notiamo che ciò non è ovviamente influenzato dalla posizione interna o esterna di $Q$ rispetto al triangolo, dato che Ceva e le sue varianti funzionano anche per ceviane esterne badando al segno dei segmenti) Notiamo ora che, per il teorema dei seni applicato al triangolo $BCQ$, vale:
$$\frac{\sin{CBQ}}{\sin{QCB}}=\frac{CQ}{BQ}$$
E scriviamo dunque
$$\frac{\sin{ACQ}}{\sin{QBA}}\frac{\sin{BAQ}}{\sin{QAC}}\frac{CQ}{BQ}=1 $$
Ora, usando prima le ciclicità del testo vale:
$$\widehat{QBM}=\pi - \widehat{QPM}= \widehat{CPQ}=\widehat{CNQ}$$
E, con il teorema dei seni applicato a $CQN$ possiamo scrivere:
$$\sin{ABQ}=\sin{CQN} \frac{CQ}{CN}$$
e analogamente sull'altro lato:
$$\sin{ACQ}=\sin{BQM} \frac{BQ}{BM}$$
Sostituendo tutte queste cose nella formula data da Ceva trigonometrico (e semplificando i $BQ$ e i $CQ$) abbiamo:
$$\frac{\sin{BQM}}{\sin{CQN}} \frac{NC}{MB} \frac{\sin{BAQ}}{\sin{QAC}}=1$$
Ora, notiamo che vale
$$\widehat{CQN}=\widehat{CPN}=\widehat{BPM}=\widehat{BQM}$$
Inoltre, notiamo che per Talete vale $\frac{NC}{MB}=\frac{AC}{AB}$. La nostra formula diventa dunque:
$$\frac{\sin{BAQ}}{\sin{QAC}}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$$
Ma da questo segue banalmente le tesi, dato che con una facile apllicazione del teorema dei seni si ha che una mediana divide l'angolo in due parti il cui rapporto dei seni(presi nello stesso ordine di sopra) è $\frac{b}{c}$, e dato che qui tale rapporto è l'inverso di questo la ceviana in questione sarà la simmetrica rispetto alla bisettrice della mediana, che è quello che volevamo dimostrare.
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Re: [PreWC] - 4 variazioni su un angolo

Messaggio da EvaristeG » 02 gen 2014, 22:30

E la 2 e la 4 sono andate, più o meno :D

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Re: [PreWC] - 4 variazioni su un angolo

Messaggio da Kfp » 03 gen 2014, 02:51

Nel frattempo, propongo una dimostrazione diversa e (forse) interessante della proprietà del punto di Miquel usata da Troleito Br00tal.
Testo nascosto:
Definito $Q$ come nel problema, consideriamo le rette di Simson di $Q$ rispetto alle due circonferenze a cui appartiene: per come sono definite, entrambe passano per le perpendicolari da $Q$ a $BM$ e $CN$, ma allora dato che condividono due punti esse sono proprio la stessa retta. Ma allora tutte e quattro le perpendicolari da $Q$ alle quattro rette che individuano il quadrilatero completo sono allineate, e poichè il teorema della retta di Simson è un se e solo se ( i piedi sono allineati se e solo se il punto sta sulla circoscritta) segue la tesi.
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Re: [PreWC] - 4 variazioni su un angolo

Messaggio da scambret » 03 gen 2014, 13:09

Step 1: Sia $X$ l'intersezione tra $AP$ e $BC$. Con Ceva, ottengo che $AX$ e quindi $AP$ è mediana. Dunque la tesi si dimostra se e solo se $AQ$ è simmediana.

Step 2: Fisso $ABC$ come triangolo referenziale. Sia $M (m:1-m:0)$ e $N (n :0:1-n)$. Le rette $AB$, $MN$ e $r_{\infty}$ si intersecano in un punto, dunque si fa il determinante e si ottiene $m=n$.

Step 3: Troviamo $P$ che è intersezione tra $AX$ e $BN$. Facendo i conti si ottiene $\displaystyle P (\frac{m}{1-m}:1:1)$.

Step 4: [parte pallosa on] Troviamo le circonferenze $\Gamma_1$ (passante per $B$, $M$ e $P$). L'equazione è

$$-a^2yz-b^2zx-c^2xy+(c^2(1-m)x + [\frac{a^2(1-m)+(b^2+c^2)m}{2-m} -c^2m ]z )(x+y+z)=0$$

Ora dato che $\Gamma_2$ è 'simmetrica' rispetto a $\Gamma_1$, quindi il calcolo dei coefficienti è simile.

Step 5: La tesi è uguale a dimostrare che $Q$ è della forma $Q (x:b^2:c^2)$. Trovo che il punto di intersezione è $\displaystyle Q (\frac{a^2(m-1)-(b^2+c^2)m}{(1-m)(2-m)} : b^2 :c^2)$, fine.

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Re: [PreWC] - 4 variazioni su un angolo

Messaggio da EvaristeG » 03 gen 2014, 13:58

scambret ha scritto:Step 1: Sia $X$ l'intersezione tra $AP$ e $BC$. Con Ceva, ottengo che $AX$ e quindi $AP$ è mediana. Dunque la tesi si dimostra se e solo se $AQ$ è simmediana.
Visto che è una riga, scrivere Ceva in questo caso non sarebbe stato male (trasformando l'ipotesi di parallelismo nell'uguaglianza di rapporti, con Talete o quel che vuoi).
scambret ha scritto: Step 2: Fisso $ABC$ come triangolo referenziale. Sia $M (m:1-m:0)$ e $N (n :0:1-n)$. Le rette $AB$, $MN$ e $r_{\infty}$ si intersecano in un punto, dunque si fa il determinante e si ottiene $m=n$.
Si ottiene questo anche semplicemente osservando che le aree di $MBC$ e $NBC$ sono uguali per il parallelismo tra $MN$ e $BC$, quindi $m=n$ (leggermente impreciso, vero?)

Il resto ok :) anche se magari ci sono modi di abbreviare i conti.

scambret
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Re: [PreWC] - 4 variazioni su un angolo

Messaggio da scambret » 03 gen 2014, 14:39

EvaristeG ha scritto:
scambret ha scritto:Step 1: Sia $X$ l'intersezione tra $AP$ e $BC$. Con Ceva, ottengo che $AX$ e quindi $AP$ è mediana. Dunque la tesi si dimostra se e solo se $AQ$ è simmediana.
Visto che è una riga, scrivere Ceva in questo caso non sarebbe stato male (trasformando l'ipotesi di parallelismo nell'uguaglianza di rapporti, con Talete o quel che vuoi).
Rimedio subito: Ceva sul triangolo $ABC$, trasversali $AX$, $BN$ e $CM$. Per Ceva ottengo

$$\frac{AM \cdot BX \cdot CN}{MB \cdot XC \cdot NA} =1$$

Per Talete ottengo

$$\frac{AM \cdot CN}{MB \cdot NA}=1$$

Dunque $BX=XC$.

In realtà dato che $P=BN \cap CM$, si fanno i conti e si ottiene qualcosa come $P(x:y:y)$, dunque $P$ sta sulla mediana, per evitare il pezzo su Ceva e Talete [se uno la fa proprio bovina]

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Re: [PreWC] - 4 variazioni su un angolo

Messaggio da EvaristeG » 04 gen 2014, 12:49

Ok, ora rimangono la 2b e la 1... :D

andrew24x
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Re: [PreWC] - 4 variazioni su un angolo

Messaggio da andrew24x » 07 gen 2014, 17:47

Consideriamo il quadrilatero completo formato dalle rette $AB,AC,MC,NB$. $Q$ è il suo punto di Miquel (non può essere $P$ perchè $M,P,C$ sono allineati quindi $C$ non appartiene a $\odot ACM$), quindi $ANQB$ e $AMQC$ sono ciclici. Da qui si ha $\angle QAB= \angle QNB = \angle QNP = \angle QCP$ e $\angle BQA= \angle BNA = \pi - \angle CNP= \angle CQP$, quindi $QBA \sim QPC$, pertanto $\frac{QA}{QC}=\frac{c}{PC}$ (1). Consideriamo la rotomotetia di centro $Q$ e fattore $k=\frac{QC}{QM}$: essa manda $M \to C, B \to N$, quindi si ha $\frac{QC}{QM}=\frac{CN}{MB}=k$, dato che i rapporti tra segmenti corrispondenti è il fattore di omotetia. Poichè per Talete si ha $\frac{CN}{MB}=\frac{b}{c}$, segue $\frac{QC}{QM}=\frac{b}{c}$ (2). Moltiplicando la (1) e la (2), si ha $\frac{QA}{QM}=\frac{b}{PC}$. Per le ciclicità di prima si ha $\angle AQM=\angle ACM=\angle ACP$. Quindi per il secondo criterio si ha $AQM \sim ACP$, da cui segue la tesi.

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