All'aeroporto c'è un aereo con $76$ posti (ovviamente ) numerati da $1$ a $76$.
Ci sono anche $76$ passeggeri anch'essi numerati da $1$ a $76$ in fila per salire sull'aereo. Salgono in ordine dal primo all'ultimo.
Ognuno vuole sedersi al proprio posto (quello con la propria etichetta)...
(E fin qui tutti contenti )
Il passeggero numero $1$, (il primo a salire... guardacaso... ) però è malvagio... e decide di sedersi in un posto a caso (che potrebbe essere pure il suo).
I passeggeri successivi, se trovano il proprio posto libero, si siedono al loro posto, altrimenti scelgono anch'essi un posto a caso tra quelli ancora liberi...
Qual è la probabilità che il $76°$ riesca a sedersi al proprio posto?
Qual è la probabilità che il $23°$ si siede al posto numero $76$ (perdendo quindi per tutto il viaggio ) ?
Qual è la probabilità che il generico passeggero $n$ si siede al posto $m$?
Studiamo il caso generale, suddividendolo in tre sottocasi:
1)$m>n$
Chiamiamo $P(m;n;k)$ la probabilità che $n$ si sieda in $m$ quando ci sono $76-k$ posti occupati a partire dal $2$. Evidentemente la probabilità che $n$ sieda in $m$ è $P(m;n;76)$. Si ha inoltre $P(m;n;76)=\frac{1}{76}[P(m;n;75)+...+P(m;n;77-n)]$: questo perchè per ogni posto $i$ in cui può sedersi l'$1$ (con probabilità $\frac{1}{76}$, eccetto il primo perchè altrimenti ognuno si sedrebbe al proprio posto), i posti dal $2$ all' $i-esimo$ vengono occupati e l'$(i+1)-esimo$ agisce con i posti rimanenti come se fosse il primo nella nuova configurazione, dato che se si mette al primo posto poi ognuno si sedrebbe al proprio posto, mentre per i restanti può agire a caso.Inoltre il primo può arrivare fino all' $n-esimo$, perchè poi il passeggero $n$ sarebbe costretto a sedersi al suo posto.
Quindi in generale $P(m;n;k)=\frac{1}{k}[P(m;n;k-1)+...+P(m;n;77-n)]$ e pertanto $P(m;n;76)=\frac{1}{76}[\frac{1}{75}[P(m;n;74)+...+P(m;n;77-n)]+P(m;n;74)+...+P(m;n;77-n)]=
\\ \frac{1}{76}[\frac{76}{75}[P(m;n;74)+...+P(m;n;77-n)]] = \frac{1}{75}[P(m;n;74)+...+P(m;n;77-n)]$. Continuando così si ha $P(m;n,76)=\frac{1}{78-n}[P(m;n;77-n)]=\frac{1}{78-n} \cdot \frac{1}{77-n}$.
Per $n=1$ questa formula non vale (in quanto si deve avere $77-n \leq 75$), ma si ha banalmente la probabilità $\frac{1}{76}$.
2)$m<n$
In questo caso, almeno che $m$ non sia 1, è impossibile: infatti se o all' $m-esimo$ posto c'è il passeggero $m$ oppure ce ne sta uno precedente a lui, altrimenti ci si sarebbe dovuto mettere lui.
Se $m=1$, il ragionamento è analogo a quello precedente perchè le condizioni sono le stesse e $[P(m;n;77-n)]=\frac{1}{77-n}$, quindi il risultato è lo stesso.
3)$m=n$
Chiamiamo $P(n;k)$ la la probabilità che $n$ si sieda al proprio posto quando ci sono $76-k$ posti occupati a partire dal $2$. Evidentemente la probabilità che $n$ sieda al proprio posto è $P(n;76)$. Inoltre $P(n;76)=\frac{1}{76}[P(n;75)+...+P(n;78-n)+77-n]$:questo perchè se il primo si siede in un posto $i$ tra il $2$ all' $(n-1)-esimo$, poi l' $(i+1)-esimo$ fa come il primo nella nuova configurazione, mentre per gli altri posti, escluso l'$n-esimo$ (per cui la probabilità è 0), è sicuro che $n$ va nel proprio posto.Quindi in generale $P(n;k)=\frac{1}{k}[P(n;k-1)+...+P(n;78-n)+77-n]$ e dunque $P(n;76)=\frac{1}{76}[P(n;75)+...+P(n;78-n)+77-n]=
\\ \frac{1}{76}[\frac{1}{75}[P(n;74)+...+P(n;78-n)+77-n]+P(n;74)+...+P(n;78-n)+77-n]=
\\ \frac{1}{75}[P(n;74)+...+P(n;78-n)+77-n]$.
Continuando così si ottiene $P(n;76)= \frac{1}{79-n}[P(n;78-n)+77-n]=\frac{1}{79-n}[\frac{77-n}{78-n}+77-n]$, dato che con $78-n$ posti liberi vanno bene tutti tranne l'$n-esimo$.Dunque $P(n;76)=\frac{1}{79-n}[\frac{(77-n)+(77-n)(78-n)}{78-n}]=\frac{1}{79-n}[\frac{(77-n)(79-n)}{78-n}]=\frac{77-n}{78-n}$.
Dato che dovevamo avere $78-n \leq 75$, trattiamo i casi $n=1$ e $n=2$ a mano. Per $n=1$ si ha $\frac{1}{76}$, per $n=2$ si ha $\frac{75}{76}$.
Ok va bene
Più o meno avevo proceduto in modo simile, ma con notazioni diverse xD
Sia $P(n)$ la probabilità che $n$ trova il posto occupato. Si prova che $\displaystyle P(n) = \frac{1}{78-n}$
Perchè la probabilità che l'$n-esimo$ trova occupato il proprio posto è uguale alla probabilità che lo trova occupato l'$n-1-esimo$ più la probabilità in cui sia proprio l'$n-1-esimo$ ad occuparglielo. Il primo addendo lo si ottiene facendo finta che l'$n-1-esimo$ posto non esista... e quindi i modi in cui i primi $n-2$ passeggeri potevano occupare l'$n-1-esimo$ sono gli stessi in cui adesso possono occupare l'$n-esimo$.
Quindi $\displaystyle P(n) = P(n-1) + P(n-1)\cdot \frac{1}{78-k} = P(n-1)\frac{79-k}{78-k}$. Quindi partendo dal secondo $P(2)=\frac{1}{76}$, $P(3)=\frac{1}{75}$ e così via... $P(76)=\frac{1}{2}$.
A questo punto la probabilità che il passeggero $n$ sieda al suo posto è $1-P(n)= \frac{77-n}{78-n}$. I posti superiori al suo sono sicuramente liberi, poichè se il suo posto è occupato vuol dire che i passeggeri precedenti a lui hanno occupato tutti i posti dal $2$ all'$n$ e i passeggeri erano $n-1$, quindi non possono aver preso altri posti. Quindi la probabilità che si sieda in un posto superiore al suo o al primo posto è $\frac{1}{78-n}\cdot \frac{1}{77-n}$ (dove $77-n$ sono i posti ancora liberi).
) numerati da $1$ a $76$.
)