Teorema delle due corde: "se e solo se"?

[iTz_CaBe_95]

Ciao ragazzi, ho cercato un po' su internet e non trovo nulla.
Vorrei sapere se vale l'inverso del teorema delle due corde:
è vero che "se due segmenti $AB$ e $CD$ si intersecano in un punto $K \notin \{ A,B,C,D \} \wedge AK \cdot KB = CK \cdot KD \Rightarrow ABCD$ è ciclico"?

[fph]

È vero. La dimostrazione si fa in un modo classico per dimostrare enunciati inversi di questo tipo: sia $D'$ l'intersezione tra la retta $CD$ e la circonferenza per $A$, $B$, $C$. Per il teorema delle due corde "usato nel verso giusto", $KD'=\frac{AK\cdot KB}{CK}=KD$ (come segmenti orientati, se vuoi), quindi i due punti devono coincidere.

Con lo stesso trucco puoi dimostrare per esempio l'inverso del teorema della bisettrice, o di Ceva: traccia un ultimo punto che soddisfa davvero le ipotesi del teorema, trova un'uguaglianza tra lunghezze, e concludi che coincide con quello dato (non so se si capisce).

EDIT: aggiustato quel KD.

[iTz_CaBe_95]

Capito, e anche imparato un bel trucchetto grazie
(Immagino intendessi $KD$ )

[matpro98]

"se due segmenti $AB$ e $CD$ si intersecano in un punto $K \notin \{ A,B,C,D \} \vee AK \cdot KB = CK \cdot KD \Rightarrow ABCD$ è ciclico"?

Sbaglio o è un "et" e non un "vel"?

[iTz_CaBe_95]

certo, ho corretto, ho sbagliato a leggere il comando $\LaTeX$