Volevo chiedere riguardo alle tecniche algebriche/disuguaglianzistiche dello smoothing e dell'unsmoothing.
Per quanto ne sappia, l'idea dello smoothing è che se ho $f(x_1\ldots x_n),g(x_1\ldots x_n)$ due funzioni simmetriche (cioé se scambio due $x_i$ tra di loro non cambia niente; potrebbero anche non essere simmetriche, ma per semplicità le considero tali), allora per dimostrare $f(x_1\ldots x_n)\geq g(x_1\ldots x_n)$ fisso $g(x_1\ldots x_n)$ e aggiustando
gli $x_i$ volta per volta (per esempio, se $g(\text{roba})$ è la media geometrica con valore $k$ e $f(\text{roba})$ è quella aritmetica, allora sostituisco $x_i, x_j$ con $k, \frac{x_ix_j}{k}$ e dimostro che la media aritmetica in tal modo è minore), però non sono molto esperto quindi è abbastanza probabile che quello scritto sopra sia sbagliato.
L'unsmoothing, invece, dovrebbe essere abbastanza la stessa cosa, fatta all'incontrario, però non mi è chiaro come usarlo:
chi mi assicura che se li scelgo "più diversi" (ovvero la differenza tra due è maggiore), allora i valori di $f(\text{roba})$ e $g(\text{roba})$ saranno più distanti?
Grazie in anticipo
(Un)smoothing
- karlosson_sul_tetto
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(Un)smoothing
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Re: (Un)smoothing
Se te la cavi con l'inglese, puoi provare a leggere il primo capitolo di http://www.artofproblemsolving.com/Reso ... lities.pdf, che secondo me è utile e ha un po' di esempi fatti (incluso quello di AM-GM). La risposta alla tua domanda finale è che nessuno te l'assicura, devi dimostrarlo a mano per ogni problema.Il succo della tecnica è che basta fare quel lemma per finire, sostanzialmente.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
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- karlosson_sul_tetto
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Re: (Un)smoothing
L'avevo già trovato, essendo il primo risultato di google, l'esempio l'ho preso da là
Non mi è chiaro però a cosa tu ti riferisca con "quel lemma", intendi che l'inclinazione della tangente aumenta per una funzione convessa?
Non mi è chiaro però a cosa tu ti riferisca con "quel lemma", intendi che l'inclinazione della tangente aumenta per una funzione convessa?
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Re: (Un)smoothing
Intendo che il trucco è dimostrare (in un senso opportuno) che "avvicinando" i punti la disuguaglianza si allarga o si restringe; poi come dimostrarlo (e quale sia il senso opportuno) dipende dal problema specifico.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
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- karlosson_sul_tetto
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Re: (Un)smoothing
Ah ok, ho frainteso grossolanamente. Grazie mille
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