Dare come risposta la somma tra numeratore e denominatore del risultato ridotto ai minimi termini.
Polinomio da cesenatico
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Sia $ p(x) =( \frac{x^4+x^2+1}{3})^{2007} = a_0+a_1x^1+.....+a_{8028}x^{8028} $ Determinare $ a_1+ a_7+....a_{3k+1}+...a_{8026} $.
Dare come risposta la somma tra numeratore e denominatore del risultato ridotto ai minimi termini.
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Re: Polinomio da cesenatico
@Fenu sai qualche dispensa dove potrei imparare le radice n_esime del unità(cioè so cosa sono non ho ancora capito come si usano) e sai dove potrei leggere anche qualcosa sulle funzioni generatrici? Ringrazio in anticipo
Re: Polinomio da cesenatico
Per quanto riguarda le funzioni generatrici, le ho spesso trovate leggendo l'$Engel$ e il $Larson$, anche se forse in quest'ultimo la tipologia di problemi affrontati è diversa da quella olimpica attuale.bananamaths ha scritto: ↑14 lug 2018, 11:29 @Fenu sai qualche dispensa dove potrei imparare le radice n_esime del unità(cioè so cosa sono non ho ancora capito come si usano) e sai dove potrei leggere anche qualcosa sulle funzioni generatrici? Ringrazio in anticipo
Ti lascio questo link: http://imomath.com/index.php?options=355 .
Per quanto riguarda le radici $n$-esime, ci sono talmente tanti posti che non saprei quale consigliarti ... guarda qualche video del senior basic e dovresti essere OK per le cose principali.
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Re: Polinomio da cesenatico
Ti ringrazzio
Re: Polinomio da cesenatico
Ti ringrazio da subito per i tuoi suggerimenti
Per prima cosa provo a dimostrare la formula sperando di non aver detto qualche scemenza
Per prima cosa provo a dimostrare la formula sperando di non aver detto qualche scemenza
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Re: Polinomio da cesenatico
La dimostrazione è corretta.
Per quanto riguarda i problemi..
1) Considera il polinomio $p(x)=(1+x)^n$. Usando l'espansione del binomio di Newton ricavi che i coefficienti dei termini di grado divisibile per $3$ sono tutti e soli i binomi della forma $\binom{n}{3k}$.. quindi ora usi il filtro delle radici che hai dimostrato ed hai finito. Per la seconda somma, prova ad osservare dove compaiono i binomiali della forma $\binom{n}{3k+1}$ tra i coefficienti del polinomio $x^2(1+x)^n$ (magari compaiono proprio nei termini di grado divisibile per $3$), e concludi con il filtro delle radici.
2)Funzione generatrice per il lancio di n dadi: $q(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n$. Cosa significa questo? Significa che, lanciando $n$ dadi e sommando il loro valore, esistono esattamente $[x^k]$ "casi" dei $6^n$ possibili che ci danno come somma $k$ (dove con $[x^k]$ intendo il coefficiente di $x^k$ in $q(x)$). Ora se noi vogliamo che la somma sia divisibile per $7$ e ci interessa la probabilità, troviamo tutti i casi favorevoli (filtro delle radici) e dividiamo per $q(1)$ (ovvero la somma dei coefficienti, nonchè tutti i casi possibili, $6^n$) ed è finito. Ti invito a risolverli per prendere familiarità con i piccoli calcoli che si presentano.
Re: Polinomio da cesenatico
Piccola osservazione : invece di dividere a mano per $6^n$, fai la vera funzione generatrice del lancio di un dado, che è semplicemente $f(x)=\frac 1 6 \left( x+x^2+\dots+x^6\right)$ ed è già normalizzata nel senso che $f(1)=1$. Poi la elevi alla $n$ se vuoi $n$ lanci indipendenti.Fenu ha scritto: ↑16 lug 2018, 10:46 2)Funzione generatrice per il lancio di n dadi: $q(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n$. Cosa significa questo? Significa che, lanciando $n$ dadi e sommando il loro valore, esistono esattamente $[x^k]$ "casi" dei $6^n$ possibili che ci danno come somma $k$ (dove con $[x^k]$ intendo il coefficiente di $x^k$ in $q(x)$). Ora se noi vogliamo che la somma sia divisibile per $7$ e ci interessa la probabilità, troviamo tutti i casi favorevoli (filtro delle radici) e dividiamo per $q(1)$ (ovvero la somma dei coefficienti, nonchè tutti i casi possibili, $6^n$) ed è finito. Ti invito a risolverli per prendere familiarità con i piccoli calcoli che si presentano.
In generale ad ogni probabilità discreta si può associare la sua generatrice $\sum_{n\ge0} p(n)x^n$ che ha molte proprietà interessanti (esempio: per trovare il valore atteso basta valutare in $1$ la derivata)
P.S: anche il problema originario si può vedere come generatrice di una probabilità, e quindi direi che il risultato non può essere $4$...
P.P.S: il posto dove imparare le generatrici è abbastanza questo
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Re: Polinomio da cesenatico
Ma le generatrici sono utili anche nelle dimostrazioni o servono sopratutto per problemi di combinatoria a conteggi?
Re: Polinomio da cesenatico
@Drago96 infatti il risultato finale del problema è la somma tra numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini
Re: Polinomio da cesenatico
@Fenu ho risolto gli esercizi che mi avevi proposto,scusa se ci ho messo tanto ma in questi giorni non ho avuto proprio tempo.
Fatti gli esercizi vorrei sapere come poter applicare questa nuova tecnica del filtro delle radici al problema di partenza...
Testo nascosto:
Re: Polinomio da cesenatico
Diciamo che le risposte sono quelle ma... quando parlavo di "prendere familiarità" con i conti, intendevo letteralmente imparare a semplificare e lavorare con quelle espressioni.. Entrambi i problemi hanno risposte "chiuse", senza polinomi o somme. Prova a semplificare.
Esempio:
Fammi sapere se hai bisogno di altro aiuto.
Una volta che impari a semplificare le espressioni, il problema da te proposto dovrebbe risultare istantaneo.
Esempio:
Testo nascosto:
Una volta che impari a semplificare le espressioni, il problema da te proposto dovrebbe risultare istantaneo.
Re: Polinomio da cesenatico
Ah scusa credevo che per " prendere familiarità" intendessi dimostrare perché da quelle espressioni si arrivava a quelle formule. Comunque per quanto riguarda la semplificazioni, appena ho un po' di tempo per studiare meglio le radici dell'unità e le loro proprietà, ci provo. Se ho bisogno di aiuto scrivo, grazie ancora.
Re: Polinomio da cesenatico
@Fenu provo il problema sui dadi
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