Sia f:N-->N tale che
<BR>
<BR>i) f(1)=1996
<BR>ii) sum(i=1..n)f(i)=n^2f(n) per ogni n>1
<BR>
<BR>Determinare il valore di f(1996)
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: andrea84 il 16-07-2004 13:24 ]
funzionale facile
Moderatore: tutor
Spiegazione.
<BR>Si ha:
<BR>f(1)+...+f(n-1)=(n-1)<sup>2</sup>*f(n-1)
<BR>[f(1)+....+f(n-1)]+f(n)=n<sup>2</sup>*f(n)
<BR>Da cui:
<BR>(n-1)<sup>2</sup>*f(n-1)+f(n)=n<sup>2</sup>*f(n)
<BR>Ovvero:
<BR>f(n)=(n-1)*f(n-1)/(n+1)
<BR>Facendo variare n da 2 ad n risulta (aggiungendo anche f(1)=1996=k):
<BR>f(1)=k
<BR>f(2)=1*f(1)/3
<BR>f(3)=2*f(2)/4
<BR>f(4)=3*f(3)/5
<BR>........
<BR>f(n)=(n-1)*f(n-1)/(n+1)
<BR>Moltiplicando membro a membro ed eliminando i fattori comuni
<BR>a sinistra e a destra:
<BR>f(n)=[k*(n-1)!]/[3*4*5*...(n+1)]
<BR>Con qualche calcolo sui fattoriali si ricava appunto:
<BR>f(n)=2*(1996)/[n(n+1)]
<BR>q.d.d.
<BR>
<BR>
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<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 16-07-2004 16:16 ]
<BR>Si ha:
<BR>f(1)+...+f(n-1)=(n-1)<sup>2</sup>*f(n-1)
<BR>[f(1)+....+f(n-1)]+f(n)=n<sup>2</sup>*f(n)
<BR>Da cui:
<BR>(n-1)<sup>2</sup>*f(n-1)+f(n)=n<sup>2</sup>*f(n)
<BR>Ovvero:
<BR>f(n)=(n-1)*f(n-1)/(n+1)
<BR>Facendo variare n da 2 ad n risulta (aggiungendo anche f(1)=1996=k):
<BR>f(1)=k
<BR>f(2)=1*f(1)/3
<BR>f(3)=2*f(2)/4
<BR>f(4)=3*f(3)/5
<BR>........
<BR>f(n)=(n-1)*f(n-1)/(n+1)
<BR>Moltiplicando membro a membro ed eliminando i fattori comuni
<BR>a sinistra e a destra:
<BR>f(n)=[k*(n-1)!]/[3*4*5*...(n+1)]
<BR>Con qualche calcolo sui fattoriali si ricava appunto:
<BR>f(n)=2*(1996)/[n(n+1)]
<BR>q.d.d.
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<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 16-07-2004 16:16 ]
Eh già!
<BR>Beh l\'avevo detto che era facile.
<BR>Anyway io prima ho fatto qualche prova di carattere numerico intuendo la formula quindi l\'ho dimostrata per induzione, ma il risultato non cambia <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>Un bravo al solito Karl e un ciao al forum <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>Beh l\'avevo detto che era facile.
<BR>Anyway io prima ho fatto qualche prova di carattere numerico intuendo la formula quindi l\'ho dimostrata per induzione, ma il risultato non cambia <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>Un bravo al solito Karl e un ciao al forum <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
Andrea 84 alias Brend