Và che caso...ho appena scaricato un testo di teoria dei numeri di un tal
<BR>Naoki Sato, scoperto cosa è il simbolo di Legendre e, immaginate un pò quale è stato il primo problema che ho risolto (senza leggere nulla dei vostri post precedenti!)?. Proprio questo:
<BR>
<BR>Fp == (p/5) mod p
<BR>
<BR>(p/5) è il simbolo di Legendre...
<BR>
<BR>che vedo che Hitleuler ha utilizzato per un problema di marco in un\'altra discussione (nn ho copiato la sol, tengo a precisare)...
<BR>Ma che altre diavolo di soluzioni avete tirato fuori? ORA forse le guardo.
<BR>
<BR>Intanto propongo un problema sul simbolo di Legendre, giusto per nn dire che il mio msg è stato inutile (ci devo ancora provare ma sembra carino: ora sono troppo stanco: già prima delle oli-fis dormivo!)..
<BR>
<BR>Se a,b,c sono a coppie primi tra loro e
<BR>
<BR>a<sup>2</sup>-ab+b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>
<BR>
<BR>allora ogni fattore primo di c è della forma 6k+1..
<BR>
<BR>La dispenza da mè indicata dovrebbe porre turri in condizione di farlo...buon lavoro!
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 09-12-2004 14:47 ]
legendre
Moderatore: tutor
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-09 14:38, info wrote:
<BR>Ma che altre diavolo di soluzioni avete tirato fuori? ORA forse le guardo.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Scusi tanto, caro Info, se esistiamo.
<BR>
<BR>Cmq, se ha soluzioni migliori, brillanti, eleganti o anche semplicemente solo alternative, perché non le aggiunge alle altre? Voglio dire, quel thread contiene già quattro soluzioni, ognuna con tecniche che spaziano dai campi finiti, alle estensioni di Z, allo studio delle orbite di un\'applicazione lineare sulle rette. Perché non mettere anche la sua?
<BR>
<BR>Saluti. M.[addsig]
<BR>On 2004-12-09 14:38, info wrote:
<BR>Ma che altre diavolo di soluzioni avete tirato fuori? ORA forse le guardo.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Scusi tanto, caro Info, se esistiamo.
<BR>
<BR>Cmq, se ha soluzioni migliori, brillanti, eleganti o anche semplicemente solo alternative, perché non le aggiunge alle altre? Voglio dire, quel thread contiene già quattro soluzioni, ognuna con tecniche che spaziano dai campi finiti, alle estensioni di Z, allo studio delle orbite di un\'applicazione lineare sulle rette. Perché non mettere anche la sua?
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<BR>Saluti. M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Ok marco...Innanzitutto io ero solo felice di avere risolto un punto fondamentale di un problema che nn avevo neanche provato a fare perchè lo consideravo troppo difficile e questo è il principale motivo del mio msg...e credo possa ben trasparire dal problema appiccicato così, quasi per caso (ma nn da trascurare!)...
<BR>In secondo luogo, credo che le sol complicate per problemi semplici siano ottimi allenamenti. Prima o poi capiterà il problema che si può risolvere solo con QUELLE idee complicate... Per questo in genere le considero, nel mio piccolo, più fighe...Ma talvolta ti scoraggi solo se le vedi! Purtroppo infatti sono abb pigro. Se poi aggiungi che le mie uniche fonti sono internet e la scuola, capisci che voglia ho di studiare per capirle...Ma questa è un\'altra storia...
<BR>Spero di avere chiarito il tutto, con le dovute scuse...
<BR>In secondo luogo, credo che le sol complicate per problemi semplici siano ottimi allenamenti. Prima o poi capiterà il problema che si può risolvere solo con QUELLE idee complicate... Per questo in genere le considero, nel mio piccolo, più fighe...Ma talvolta ti scoraggi solo se le vedi! Purtroppo infatti sono abb pigro. Se poi aggiungi che le mie uniche fonti sono internet e la scuola, capisci che voglia ho di studiare per capirle...Ma questa è un\'altra storia...
<BR>Spero di avere chiarito il tutto, con le dovute scuse...
E basta con quella forma di cortesia, nn credo sia successo nulla!
<BR>
<BR>Infine, il mio voleva essere anche un commento che evidenziava l\'inventiva di questo forum... La frase \"ORA forse le guardo\" può trarre in inganno ma è semplicemente una frase vera detta a sproposito, dato che al momento sono troppo stanco... Ok... se continuo a scusarmi domani camminerò con il mal di schiena: quindi basta per ora! <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 09-12-2004 15:14 ]
<BR>
<BR>Infine, il mio voleva essere anche un commento che evidenziava l\'inventiva di questo forum... La frase \"ORA forse le guardo\" può trarre in inganno ma è semplicemente una frase vera detta a sproposito, dato che al momento sono troppo stanco... Ok... se continuo a scusarmi domani camminerò con il mal di schiena: quindi basta per ora! <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 09-12-2004 15:14 ]
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-09 15:12, marco wrote:
<BR> Si stava scherzando!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Scusa ma ora proprio nn ci stò dentro...
<BR>
<BR>Nn ho procato a scaricarlo di nuovo (nn ho mica fastweb, eh!) ma credo si trovi quà:
<BR>
<BR>http://donut.math.toronto.edu/~naoki/math.htm
<BR>
<BR>primo collegamento in alto
<BR>
<BR>Mi pare i concetti siano ben espressi ed in maniera molto elementare...
<BR>
<BR>
<BR>Per finire, la mia sol è praticamente uguale alla seconda di Euler, nn volevo dire che ho trovato qualcosa di nuovo, altrimenti avrei postato nel topic in questione...
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 09-12-2004 15:23 ]
<BR>On 2004-12-09 15:12, marco wrote:
<BR> Si stava scherzando!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Scusa ma ora proprio nn ci stò dentro...
<BR>
<BR>Nn ho procato a scaricarlo di nuovo (nn ho mica fastweb, eh!) ma credo si trovi quà:
<BR>
<BR>http://donut.math.toronto.edu/~naoki/math.htm
<BR>
<BR>primo collegamento in alto
<BR>
<BR>Mi pare i concetti siano ben espressi ed in maniera molto elementare...
<BR>
<BR>
<BR>Per finire, la mia sol è praticamente uguale alla seconda di Euler, nn volevo dire che ho trovato qualcosa di nuovo, altrimenti avrei postato nel topic in questione...
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 09-12-2004 15:23 ]
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-12-09 14:38, info wrote:
<BR>Se a,b,c sono a coppie primi tra loro e
<BR>
<BR>a<sup>2</sup>-ab+b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>
<BR>
<BR>allora ogni fattore primo di c è della forma 6k+1.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Oh, gli stuzzichini di Naoki Sato! Quanto mi sta sui maroni quel tizio... Bon, innanzitutto, annoto ch\'è sufficiente supporre: gcd(a,b) = 1, e quindi dedurne - in tutta evidenza - che: gcd(a,c) = gcd(b,c) = 1. Sempre mejo che assumerlo, no? Inoltre, la terna (1,1,1) soddisfa tutte le condizione richieste dalla traccia del problema, eppure c non possiede fattori primi di alcuna forma... Baaah!
<BR>
<BR>Comunque, se gcd(a,b) = 1, per simmetria, è lecito ammettere a = 1 mod 2. E allora, dacché per ipotesi: a<sup>2</sup> - ab + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>, seguita che:
<BR>
<BR><center>1 = a = a - b + b = a - ab + b = a<sup>2</sup> - ab + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup> = c mod 2.</center>
<BR>
<BR>Se dunque c è un intero in modulo > 1, ogni fattore primo che interviene nella sua decomposizione canonica euclidea (sì, esattamente quel che pensate...) è forzatamente dispari. Sia dunque q > 0 un generico divisore primo intero di c. In base a quanto appena detto: q = 2m + 1, per qualche m € N<sub>0</sub>.
<BR>
<BR>Del resto, se c = 1 mod 2: a<sup>2</sup>-ab+b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup> sse: 4a<sup>2</sup>-4ab+b<sup>2</sup> = -3b<sup>2</sup> mod q, ovvero sse: (1/b)<sup>2</sup>(2a - b)<sup>2</sup> = -3 mod q, e quindi se la congruenza quadratica:
<BR>z<sup>2</sup> = -3 mod q è risolubile in interi, avendo denotato con (1/b) l\'inverso aritmetico di b mod q, la cui esistenza è garantita dall\'avere stabilito la coprimalità di b e c.
<BR>
<BR>Ebbene, dalla teoria delle congruenza quadratiche, l\'equ. modulare: z<sup>2</sup> = -3 mod q è risolvibile in Z sse: Leg(-3,q) = 1. D\'altro canto, per le proprietà del simbolo di Legendre, e in particolare per la legge di reciprocità quadratica:
<BR>
<BR>Leg(-3,q) = Leg(-1,q) · Leg(3,q) = (-1)<sup>(q-1)/2</sup> · (-1)<sup>[(3-1)/2] · [(q-1)/2]</sup> Leg(q,3) =
<BR><font color=white>Leg(-3,q)</font> = (-1)<sup>(q-1)/2</sup> · (-1)<sup>(q-1)/2</sup> Leg(q,3) = (-1)<sup>(q-1)</sup> Leg(r,3) = Leg(r,3)
<BR>
<BR>ove r rappresenta il resto della divisione intera di q per 3. Ora, per il lemma di Gauss sul carattere quadratico di 2: Leg(2,3) = (-1)<sup>(3^2 - 1)/8</sup> = -1. Più banalmente, poi: Leg(0,3) = 0. Dunque, necessariamente:
<BR>
<BR>Leg(-3,q) = 1 ==> q = 1 mod 3 ==> 2m + 1 = 1 mod 3 ==> m = 0 mod 3
<BR>
<BR>Di qui la tesi!!! Ciao e alla prossima...
<BR>~ S. Tr.
<BR>
<BR>EDIT: le immancabili rifiniture!
<BR>
<BR>
<BR>\"Un guerriero della luce sa che, nel profondo del suo cuore, c\'è un ordine che lo guida.\" - Paulo Coelho, <!-- BBCode Start --><I>Manuale del guerriero della luce</I><!-- BBCode End --><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 09-12-2004 17:18 ]
<BR>On 2004-12-09 14:38, info wrote:
<BR>Se a,b,c sono a coppie primi tra loro e
<BR>
<BR>a<sup>2</sup>-ab+b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>
<BR>
<BR>allora ogni fattore primo di c è della forma 6k+1.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Oh, gli stuzzichini di Naoki Sato! Quanto mi sta sui maroni quel tizio... Bon, innanzitutto, annoto ch\'è sufficiente supporre: gcd(a,b) = 1, e quindi dedurne - in tutta evidenza - che: gcd(a,c) = gcd(b,c) = 1. Sempre mejo che assumerlo, no? Inoltre, la terna (1,1,1) soddisfa tutte le condizione richieste dalla traccia del problema, eppure c non possiede fattori primi di alcuna forma... Baaah!
<BR>
<BR>Comunque, se gcd(a,b) = 1, per simmetria, è lecito ammettere a = 1 mod 2. E allora, dacché per ipotesi: a<sup>2</sup> - ab + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>, seguita che:
<BR>
<BR><center>1 = a = a - b + b = a - ab + b = a<sup>2</sup> - ab + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup> = c mod 2.</center>
<BR>
<BR>Se dunque c è un intero in modulo > 1, ogni fattore primo che interviene nella sua decomposizione canonica euclidea (sì, esattamente quel che pensate...) è forzatamente dispari. Sia dunque q > 0 un generico divisore primo intero di c. In base a quanto appena detto: q = 2m + 1, per qualche m € N<sub>0</sub>.
<BR>
<BR>Del resto, se c = 1 mod 2: a<sup>2</sup>-ab+b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup> sse: 4a<sup>2</sup>-4ab+b<sup>2</sup> = -3b<sup>2</sup> mod q, ovvero sse: (1/b)<sup>2</sup>(2a - b)<sup>2</sup> = -3 mod q, e quindi se la congruenza quadratica:
<BR>z<sup>2</sup> = -3 mod q è risolubile in interi, avendo denotato con (1/b) l\'inverso aritmetico di b mod q, la cui esistenza è garantita dall\'avere stabilito la coprimalità di b e c.
<BR>
<BR>Ebbene, dalla teoria delle congruenza quadratiche, l\'equ. modulare: z<sup>2</sup> = -3 mod q è risolvibile in Z sse: Leg(-3,q) = 1. D\'altro canto, per le proprietà del simbolo di Legendre, e in particolare per la legge di reciprocità quadratica:
<BR>
<BR>Leg(-3,q) = Leg(-1,q) · Leg(3,q) = (-1)<sup>(q-1)/2</sup> · (-1)<sup>[(3-1)/2] · [(q-1)/2]</sup> Leg(q,3) =
<BR><font color=white>Leg(-3,q)</font> = (-1)<sup>(q-1)/2</sup> · (-1)<sup>(q-1)/2</sup> Leg(q,3) = (-1)<sup>(q-1)</sup> Leg(r,3) = Leg(r,3)
<BR>
<BR>ove r rappresenta il resto della divisione intera di q per 3. Ora, per il lemma di Gauss sul carattere quadratico di 2: Leg(2,3) = (-1)<sup>(3^2 - 1)/8</sup> = -1. Più banalmente, poi: Leg(0,3) = 0. Dunque, necessariamente:
<BR>
<BR>Leg(-3,q) = 1 ==> q = 1 mod 3 ==> 2m + 1 = 1 mod 3 ==> m = 0 mod 3
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<BR>Di qui la tesi!!! Ciao e alla prossima...
<BR>~ S. Tr.
<BR>
<BR>EDIT: le immancabili rifiniture!
<BR>
<BR>
<BR>\"Un guerriero della luce sa che, nel profondo del suo cuore, c\'è un ordine che lo guida.\" - Paulo Coelho, <!-- BBCode Start --><I>Manuale del guerriero della luce</I><!-- BBCode End --><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 09-12-2004 17:18 ]